Theorem nnsum4primes4 45299

Description: 4 is the sum of at most 4 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 4 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum4primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsum3primes4 45298	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))
2		3lt4 12193	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
3		nnre 12026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
4		3re 12099	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
6		4re 12103	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
8		leltletr 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 3 < 4) → 𝑑 ≤ 4))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 3 < 4) → 𝑑 ≤ 4))
10	2, 9	mpan2i 695	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (𝑑 ≤ 3 → 𝑑 ≤ 4))
11	10	anim1d 612	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) → (𝑑 ≤ 4 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
12	11	reximdv 3164	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 4 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
13	12	reximia 3081	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 4 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
14	1, 13	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 4 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ↑_m cmap 8646  ℝcr 10916  1c1 10918   < clt 11055   ≤ cle 11056  ℕcn 12019  3c3 12075  4c4 12076  ...cfz 13285  Σcsu 15442  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by: (None)