MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmo 15824
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodmo.3 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodmo (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘—,๐‘š,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘“,๐‘—,๐‘š   ๐‘“,๐น,๐‘—,๐‘˜,๐‘š   ๐œ‘,๐‘“,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘—,๐บ,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘›,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ)   ๐ด(๐‘ฆ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘›)   ๐น(๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem prodmo
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘” ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1150 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
21reximi 3084 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
3 3simpb 1150 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
43reximi 3084 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
5 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
65sseq2d 3977 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)))
7 seqeq1 13915 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) = seq๐‘ค( ยท , ๐น))
87breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
96, 8anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†” (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
109cbvrexvw 3225 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
1110anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
12 reeanv 3216 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
1311, 12bitr4i 278 . . . . . . 7 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
14 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
1514adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
16 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
17 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
20 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
21 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
23 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
2516, 18, 19, 20, 22, 24prodrb 15820 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
2615, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
27 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)
2827adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)
29 climuni 15440 . . . . . . . . . . 11 ((seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3026, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3130expcom 415 . . . . . . . . 9 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
3231ex 414 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
3332rexlimivv 3193 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
3413, 33sylbi 216 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
352, 4, 34syl2an 597 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
36 prodmo.3 . . . . . . . . . 10 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
3716, 17, 36prodmolem2 15823 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ฅ))
38 equcomi 2021 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4039expimpd 455 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4140com12 32 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4241ancoms 460 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4316, 17, 36prodmolem2 15823 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4443expimpd 455 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4544com12 32 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
46 reeanv 3216 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
47 exdistrv 1960 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
48472rexbii 3125 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
49 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (1...๐‘š) = (1...๐‘ค))
5049f1oeq2d 6781 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
51 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))
5251eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
5350, 52anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))))
5453exbidv 1925 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))))
55 f1oeq1 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
56 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘”โ€˜๐‘—))
5756csbeq1d 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5857mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5936, 58eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
6059seqeq3d 13920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ seq1( ยท , ๐บ) = seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6160fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))
6261eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6355, 62anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)) โ†” (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6463cbvexvw 2041 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6554, 64bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6665cbvrexvw 3225 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6766anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6846, 48, 673bitr4i 303 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
69 an4 655 . . . . . . . . . 10 (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
7017ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
71 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘“โ€˜๐‘Ž))
7271csbeq1d 3860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7372cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7436, 73eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ๐บ = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
75 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘—) = (๐‘”โ€˜๐‘Ž))
7675csbeq1d 3860 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7776cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
78 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•))
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
80 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
8116, 70, 74, 77, 78, 79, 80prodmolem3 15821 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))
82 eqeq12 2750 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
8381, 82syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8483expimpd 455 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8569, 84biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8685exlimdvv 1938 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8786rexlimdvva 3202 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8868, 87biimtrrid 242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8988com12 32 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9035, 42, 45, 89ccase 1037 . . . 4 (((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9190com12 32 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9291alrimivv 1932 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅโˆ€๐‘ง(((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
93 breq2 5110 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
94933anbi3d 1443 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
9594rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
96 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
9796anbi2d 630 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
9897exbidv 1925 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
9998rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
10095, 99orbi12d 918 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))))
101100mo4 2561 . 2 (โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” โˆ€๐‘ฅโˆ€๐‘ง(((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
10292, 101sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088  โˆ€wal 1540   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ*wmo 2533   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  โฆ‹csb 3856   โŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912   โ‡ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  fprod  15829
  Copyright terms: Public domain W3C validator