MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmo 15884
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodmo.3 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodmo (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘—,๐‘š,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘“,๐‘—,๐‘š   ๐‘“,๐น,๐‘—,๐‘˜,๐‘š   ๐œ‘,๐‘“,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘—,๐บ,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘›,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ)   ๐ด(๐‘ฆ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘›)   ๐น(๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem prodmo
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘” ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1146 . . . . . . 7 ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
21reximi 3078 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
3 3simpb 1146 . . . . . . 7 ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
43reximi 3078 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
5 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
65sseq2d 4009 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)))
7 seqeq1 13972 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) = seq๐‘ค( ยท , ๐น))
87breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
96, 8anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
109cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
1110anbi2i 622 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
12 reeanv 3220 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
1311, 12bitr4i 278 . . . . . . 7 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
14 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
16 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
17 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 simprll 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
20 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
21 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
23 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
2516, 18, 19, 20, 22, 24prodrb 15880 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
2615, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
27 simprrr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)
29 climuni 15500 . . . . . . . . . . 11 ((seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3026, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3130expcom 413 . . . . . . . . 9 (((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
3231ex 412 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
3332rexlimivv 3193 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
3413, 33sylbi 216 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
352, 4, 34syl2an 595 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
36 prodmo.3 . . . . . . . . . 10 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
3716, 17, 36prodmolem2 15883 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ฅ))
38 equcomi 2012 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4039expimpd 453 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4140com12 32 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4241ancoms 458 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4316, 17, 36prodmolem2 15883 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4443expimpd 453 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4544com12 32 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
46 reeanv 3220 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
47 exdistrv 1951 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
48472rexbii 3123 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
49 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (1...๐‘š) = (1...๐‘ค))
5049f1oeq2d 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
51 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))
5251eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
5350, 52anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))))
5453exbidv 1916 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค))))
55 f1oeq1 6814 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
56 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘”โ€˜๐‘—))
5756csbeq1d 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5857mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5936, 58eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
6059seqeq3d 13977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ seq1( ยท , ๐บ) = seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6160fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))
6261eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6355, 62anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)) โ†” (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6463cbvexvw 2032 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6554, 64bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6665cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
6766anbi2i 622 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘”(๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
6846, 48, 673bitr4i 303 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
69 an4 653 . . . . . . . . . 10 (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†” ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))))
7017ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
71 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘“โ€˜๐‘Ž))
7271csbeq1d 3892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7372cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7436, 73eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ๐บ = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
75 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘—) = (๐‘”โ€˜๐‘Ž))
7675csbeq1d 3892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7776cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘Ž) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
78 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•))
79 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
80 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
8116, 70, 74, 77, 78, 79, 80prodmolem3 15881 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))
82 eqeq12 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)))
8381, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8483expimpd 453 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8569, 84biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8685exlimdvv 1929 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8786rexlimdvva 3205 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง (๐‘”:(1...๐‘ค)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8868, 87biimtrrid 242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
8988com12 32 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9035, 42, 45, 89ccase 1034 . . . 4 (((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9190com12 32 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
9291alrimivv 1923 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅโˆ€๐‘ง(((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
93 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง))
94933anbi3d 1438 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
9594rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง)))
96 eqeq1 2730 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
9796anbi2d 628 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
9897exbidv 1916 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
9998rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
10095, 99orbi12d 915 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))))
101100mo4 2554 . 2 (โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” โˆ€๐‘ฅโˆ€๐‘ง(((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ง) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
10292, 101sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084  โˆ€wal 1531   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ*wmo 2526   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  โฆ‹csb 3888   โІ wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6535  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969   โ‡ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  fprod  15889
  Copyright terms: Public domain W3C validator