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Theorem prodmo 15819
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodmo (𝜑 → ∃*𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚,𝑥   𝐵,𝑓,𝑗,𝑚   𝑓,𝐹,𝑗,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓,𝑥   𝑥,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝜑,𝑥   𝑥,𝑛,𝜑   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem prodmo
Dummy variables 𝑎 𝑔 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
21reximi 3087 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
3 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))
43reximi 3087 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))
5 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑤 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑤))
65sseq2d 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤)))
7 seqeq1 13909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑤 → seq𝑚( · , 𝐹) = seq𝑤( · , 𝐹))
87breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))
96, 8anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
109cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))
1110anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
12 reeanv 3217 . . . . . . . 8 (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
1311, 12bitr4i 277 . . . . . . 7 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
14 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))) → seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
16 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
17 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
20 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → 𝑤 ∈ ℤ)
21 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑚))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑚))
23 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
2516, 18, 19, 20, 22, 24prodrb 15815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
2615, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
27 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)
29 climuni 15434 . . . . . . . . . . 11 ((seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
3026, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))) → 𝑥 = 𝑧)
3130expcom 414 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
3231ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (𝜑𝑥 = 𝑧)))
3332rexlimivv 3196 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
3413, 33sylbi 216 . . . . . 6 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
352, 4, 34syl2an 596 . . . . 5 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
36 prodmo.3 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
3716, 17, 36prodmolem2 15818 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑧 = 𝑥))
38 equcomi 2020 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥𝑥 = 𝑧)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
4039expimpd 454 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
4140com12 32 . . . . . 6 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
4241ancoms 459 . . . . 5 ((∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
4316, 17, 36prodmolem2 15818 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
4443expimpd 454 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
4544com12 32 . . . . 5 ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
46 reeanv 3217 . . . . . . . 8 (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
47 exdistrv 1959 . . . . . . . . 9 (∃𝑓𝑔((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) ↔ (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
48472rexbii 3128 . . . . . . . 8 (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑓𝑔((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
49 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑤 → (1...𝑚) = (1...𝑤))
5049f1oeq2d 6780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑤 → (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴))
51 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑤 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤))
5251eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑤 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ↔ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤)))
5350, 52anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑤 → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ (𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤))))
5453exbidv 1924 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤 → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤))))
55 f1oeq1 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴))
56 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑗) = (𝑔𝑗))
5756csbeq1d 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔(𝑓𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵)
5857mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))
5936, 58eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))
6059seqeq3d 13914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → seq1( · , 𝐺) = seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵)))
6160fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑤) = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))
6261eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤) ↔ 𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)))
6355, 62anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤)) ↔ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
6463cbvexvw 2040 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑓(𝑓:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑤)) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)))
6554, 64bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
6665cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)))
6766anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑔(𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
6846, 48, 673bitr4i 302 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑓𝑔((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
69 an4 654 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) ↔ ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴) ∧ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ∧ 𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))))
7017ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑎 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑎))
7271csbeq1d 3859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑎(𝑓𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝑓𝑎) / 𝑘𝐵)
7372cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑎) / 𝑘𝐵)
7436, 73eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑎) / 𝑘𝐵)
75 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑎 → (𝑔𝑗) = (𝑔𝑎))
7675csbeq1d 3859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑎(𝑔𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝑔𝑎) / 𝑘𝐵)
7776cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑎) / 𝑘𝐵)
78 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ))
79 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
80 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) → 𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)
8116, 70, 74, 77, 78, 79, 80prodmolem3 15816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))
82 eqeq12 2753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ∧ 𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)) → (𝑥 = 𝑧 ↔ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)))
8381, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴)) → ((𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ∧ 𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
8483expimpd 454 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴) ∧ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ∧ 𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) → 𝑥 = 𝑧))
8569, 84biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) → 𝑥 = 𝑧))
8685exlimdvv 1937 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (∃𝑓𝑔((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) → 𝑥 = 𝑧))
8786rexlimdvva 3205 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ ∃𝑓𝑔((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ (𝑔:(1...𝑤)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵))‘𝑤))) → 𝑥 = 𝑧))
8868, 87biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
8988com12 32 . . . . 5 ((∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
9035, 42, 45, 89ccase 1036 . . . 4 (((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ∧ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))) → (𝜑𝑥 = 𝑧))
9190com12 32 . . 3 (𝜑 → (((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ∧ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))) → 𝑥 = 𝑧))
9291alrimivv 1931 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑧(((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ∧ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))) → 𝑥 = 𝑧))
93 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧))
94933anbi3d 1442 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
9594rexbidv 3175 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧)))
96 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) ↔ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
9796anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
9897exbidv 1924 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
9998rexbidv 3175 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
10095, 99orbi12d 917 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))))
101100mo4 2564 . 2 (∃*𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ ∀𝑥𝑧(((∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ∧ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑧) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))) → 𝑥 = 𝑧))
10292, 101sylibr 233 1 (𝜑 → ∃*𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wne 2943  wrex 3073  csb 3855  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  fprod  15824
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