MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1cl 21513
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr1cl (𝜑𝑈𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1cl
StepHypRef Expression
1 psrring.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 20076 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5 psr1cl.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
62, 5ring0cl 20077 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
74, 6ifcld 4573 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10 psr1cl.u . . . 4 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
119, 10fmptd 7110 . . 3 (𝜑𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fvex 6901 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
13 psr1cl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14 ovex 7438 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1513, 14rabex2 5333 . . . 4 𝐷 ∈ V
1612, 15elmap 8861 . . 3 (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1711, 16sylibr 233 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
18 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
19 psr1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
20 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 21488 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
2217, 21eleqtrrd 2836 1 (𝜑𝑈𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3432  ifcif 4527  {csn 4627  cmpt 5230   × cxp 5673  ccnv 5674  cima 5678  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  cn 12208  0cn0 12468  Basecbs 17140  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049   mPwSer cmps 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-psr 21453
This theorem is referenced by:  psrlidm  21514  psrridm  21515  psrring  21522  psr1  21523
  Copyright terms: Public domain W3C validator