Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1cl 20638
 Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr1cl (𝜑𝑈𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1cl
StepHypRef Expression
1 psrring.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 19312 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5 psr1cl.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
62, 5ring0cl 19313 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
74, 6ifcld 4484 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10 psr1cl.u . . . 4 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
119, 10fmptd 6860 . . 3 (𝜑𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fvex 6665 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
13 psr1cl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14 ovex 7173 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1513, 14rabex2 5213 . . . 4 𝐷 ∈ V
1612, 15elmap 8422 . . 3 (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1711, 16sylibr 237 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
18 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
19 psr1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
20 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 20614 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
2217, 21eleqtrrd 2917 1 (𝜑𝑈𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  ifcif 4439  {csn 4539   ↦ cmpt 5122   × cxp 5530  ◡ccnv 5531   “ cima 5535  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288   mPwSer cmps 20587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-psr 20592 This theorem is referenced by:  psrlidm  20639  psrridm  20640  psrring  20647  psr1  20648
 Copyright terms: Public domain W3C validator