Theorem psr1cl 22323

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1cl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7	4, 6	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
11	9, 10	fmptd 7146	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fvex 6929	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		psr1cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
15	13, 14	rabex2 5309	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
16	12, 15	elmap 8937	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	11, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
18		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
19		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
20		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
21	18, 2, 13, 19, 20	psrbas 22297	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
22	17, 21	eleqtrrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510   mPwSer cmps 22267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-psr 22272

This theorem is used by:  psrlidm  22324  psrridm  22325  psrring  22332  psr1  22333