Theorem psr1cl 21936

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1cl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7	4, 6	ifcld 4552	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
11	9, 10	fmptd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fvex 6899	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		psr1cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
15	13, 14	rabex2 5321	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
16	12, 15	elmap 8893	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	11, 16	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
18		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
19		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
20		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
21	18, 2, 13, 19, 20	psrbas 21908	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
22	17, 21	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419  ifcif 4505  {csn 4606   ↦ cmpt 5205   × cxp 5663  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8967  0cc0 11137  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  Basecbs 17230  0_gc0g 17456  1_rcur 20147  Ringcrg 20199   mPwSer cmps 21879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-tset 17293  df-0g 17458  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-mgp 20107  df-ur 20148  df-ring 20201  df-psr 21884

This theorem is referenced by:  psrlidm  21937  psrridm  21938  psrring  21945  psr1  21946