Theorem cnmsgn0g 31421

Description: The neutral element of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgn0g.1	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgn0g	⊢ 1 = (0g‘𝑈)

Proof of Theorem cnmsgn0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 20630	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3	2	ringmgp 19799	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
5		1ex 10981	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
6	5	prid1 4698	. 2 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
7		ax-1cn 10939	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12097	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		prssi 4754	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
10	7, 8, 9	mp2an 689	. 2 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
11		cnmsgn0g.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
12		cnfldbas 20611	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	2, 12	mgpbas 19736	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14		cnfld1 20633	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
15	2, 14	ringidval 19749	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	11, 13, 15	ress0g 18423	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘𝑈))
17	4, 6, 10, 16	mp3an 1460	1 ⊢ 1 = (0g‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3886  {cpr 4563  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  1c1 10882  -cneg 11216   ↾_s cress 16951  0_gc0g 17160  Mndcmnd 18395  mulGrpcmgp 19730  Ringcrg 19793  ℂ_fldccnfld 20607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-cmn 19398  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-cnfld 20608

This theorem is referenced by:  evpmsubg  31422