Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmsgn0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgn0g 32896
Description: The neutral element of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgn0g.1 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
cnmsgn0g 1 = (0g𝑈)

Proof of Theorem cnmsgn0g
StepHypRef Expression
1 cnring 21332 . . 3 fld ∈ Ring
2 eqid 2728 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
32ringmgp 20193 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
41, 3ax-mp 5 . 2 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
5 1ex 11250 . . 3 1 ∈ V
65prid1 4771 . 2 1 ∈ {1, -1}
7 ax-1cn 11206 . . 3 1 ∈ ℂ
8 neg1cn 12366 . . 3 -1 ∈ ℂ
9 prssi 4829 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
107, 8, 9mp2an 690 . 2 {1, -1} ⊆ ℂ
11 cnmsgn0g.1 . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
12 cnfldbas 21297 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
132, 12mgpbas 20094 . . 3 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14 cnfld1 21335 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
152, 14ringidval 20137 . . 3 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
1611, 13, 15ress0g 18731 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g𝑈))
174, 6, 10, 16mp3an 1457 1 1 = (0g𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  {cpr 4634  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11146  1c1 11149  -cneg 11485  s cress 17218  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  fldccnfld 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-cmn 19751  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-cnfld 21294
This theorem is referenced by:  evpmsubg  32897
  Copyright terms: Public domain W3C validator