Theorem cnmsgn0g 33626

Description: The neutral element of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgn0g.1	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgn0g	⊢ 1 = (0g‘𝑈)

Proof of Theorem cnmsgn0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21647	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3	2	ringmgp 20412	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
5		1ex 11260	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
6	5	prid1 4723	. 2 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
7		ax-1cn 11215	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12260	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		prssi 4782	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
10	7, 8, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
11		cnmsgn0g.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
12		cnfldbas 21629	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	2, 12	mgpbas 20312	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14		cnfld1 21650	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
15	2, 14	ringidval 20356	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	11, 13, 15	ress0g 18901	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘𝑈))
17	4, 6, 10, 16	mp3an 1490	1 ⊢ 1 = (0g‘𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  1c1 11158  -cneg 11499   ↾_s cress 17355  0_gc0g 17557  Mndcmnd 18870  mulGrpcmgp 20307  Ringcrg 20406  ℂ_fldccnfld 21625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-cmn 19943  df-mgp 20308  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-cnfld 21626

This theorem is used by:  evpmsubg  33627