Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgnsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgnsg 33169
Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
evpmid.1 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
altgnsg (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3501 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
32cnveqd 5886 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
43imaeq1d 6077 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5 df-evpm 19510 . . . 4 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6 fvex 6919 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
76cnvex 7947 . . . . 5 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
87imaex 7936 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
94, 5, 8fvmpt 7016 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
101, 9syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11 evpmid.1 . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12 eqid 2737 . . . 4 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13 eqid 2737 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1411, 12, 13psgnghm2 21599 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15 cnring 21403 . . . . . 6 fld ∈ Ring
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
1716ringmgp 20236 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
20 prid1g 4760 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ {1, -1}
22 neg1cn 12380 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
23 prssi 4821 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
2419, 22, 23mp2an 692 . . . . 5 {1, -1} ⊆ ℂ
25 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2616, 25mgpbas 20142 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfld1 21406 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2816, 27ringidval 20180 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
2913, 26, 28ress0g 18775 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
3018, 21, 24, 29mp3an 1463 . . . 4 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3130ghmker 19260 . . 3 ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
3214, 31syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
3310, 32eqeltrd 2841 1 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  1c1 11156  -cneg 11493  s cress 17274  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  NrmSGrpcnsg 19139   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  pmEvencevpm 19508  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-evpm 19510  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33172
  Copyright terms: Public domain W3C validator