Theorem altgnsg 33535

Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
evpmid.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
altgnsg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3478	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3	2	cnveqd 5863	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
4	3	imaeq1d 6063	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5		df-evpm 19608	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	cnvex 7928	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
8	7	imaex 7917	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
10	1, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11		evpmid.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	11, 12, 13	psgnghm2 21783	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		cnring 21596	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
17	16	ringmgp 20367	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19		ax-1cn 11175	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		prid1g 4728	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
22		neg1cn 12220	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		prssi 4789	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
24	19, 22, 23	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
25		cnfldbas 21578	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	16, 25	mgpbas 20267	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfld1 21599	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
28	16, 27	ringidval 20311	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	13, 26, 28	ress0g 18857	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
30	18, 21, 24, 29	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
31	30	ghmker 19358	. . 3 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
32	14, 31	syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
33	10, 32	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {csn 4591  {cpr 4593  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℂcc 11115  1c1 11118  -cneg 11459   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516  Mndcmnd 18826  NrmSGrpcnsg 19233   GrpHom cghm 19329  SymGrpcsymg 19485  pmSgncpsgn 19605  pmEvencevpm 19606  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361  ℂ_fldccnfld 21574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-reverse 14820  df-s2 14911  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-efmnd 18967  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-ghm 19330  df-gim 19375  df-oppg 19462  df-symg 19486  df-pmtr 19558  df-psgn 19607  df-evpm 19608  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-drng 20881  df-cnfld 21575

This theorem is used by:  cyc3genpm  33538