Theorem altgnsg 30791

Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
evpmid.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
altgnsg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3512	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3	2	cnveqd 5746	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
4	3	imaeq1d 5928	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5		df-evpm 18620	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6		fvex 6683	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	cnvex 7630	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
8	7	imaex 7621	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6768	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11		evpmid.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	11, 12, 13	psgnghm2 20725	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		cnring 20567	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
16		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
17	16	ringmgp 19303	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19		ax-1cn 10595	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		prid1g 4696	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
22		neg1cn 11752	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		prssi 4754	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
24	19, 22, 23	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
25		cnfldbas 20549	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	16, 25	mgpbas 19245	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfld1 20570	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
28	16, 27	ringidval 19253	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	13, 26, 28	ress0g 17939	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
30	18, 21, 24, 29	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
31	30	ghmker 18384	. . 3 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
32	14, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
33	10, 32	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  1c1 10538  -cneg 10871   ↾_s cress 16484  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  NrmSGrpcnsg 18274   GrpHom cghm 18355  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  pmEvencevpm 18618  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  ℂ_fldccnfld 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1502  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-evpm 18620  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-cnfld 20546

This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30794