Theorem altgnsg 33230

Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
evpmid.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
altgnsg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3452	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3	2	cnveqd 5817	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
4	3	imaeq1d 6011	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5		df-evpm 19458	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6		fvex 6840	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	cnvex 7865	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
8	7	imaex 7854	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11		evpmid.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	11, 12, 13	psgnghm2 21556	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		cnring 21369	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
16		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
17	16	ringmgp 20211	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19		ax-1cn 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		prid1g 4692	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
22		neg1cn 12135	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		prssi 4752	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
24	19, 22, 23	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
25		cnfldbas 21351	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	16, 25	mgpbas 20117	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfld1 21372	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
28	16, 27	ringidval 20155	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	13, 26, 28	ress0g 18721	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
30	18, 21, 24, 29	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
31	30	ghmker 19208	. . 3 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
32	14, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
33	10, 32	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {csn 4555  {cpr 4557  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027  1c1 11030  -cneg 11369   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  NrmSGrpcnsg 19088   GrpHom cghm 19178  SymGrpcsymg 19335  pmSgncpsgn 19455  pmEvencevpm 19456  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-oppg 19312  df-symg 19336  df-pmtr 19408  df-psgn 19457  df-evpm 19458  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20703  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33233