Theorem altgnsg 33329

Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
evpmid.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
altgnsg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3	2	cnveqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
4	3	imaeq1d 6048	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5		df-evpm 19532	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	cnvex 7906	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
8	7	imaex 7895	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6975	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11		evpmid.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	11, 12, 13	psgnghm2 21633	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		cnring 21446	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
17	16	ringmgp 20289	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19		ax-1cn 11131	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		prid1g 4719	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
22		neg1cn 12180	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		prssi 4779	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
24	19, 22, 23	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
25		cnfldbas 21428	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	16, 25	mgpbas 20191	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfld1 21449	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
28	16, 27	ringidval 20233	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	13, 26, 28	ress0g 18796	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
30	18, 21, 24, 29	mp3an 1482	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
31	30	ghmker 19282	. . 3 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
32	14, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
33	10, 32	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℂcc 11071  1c1 11074  -cneg 11415   ↾_s cress 17266  0_gc0g 17468  Mndcmnd 18768  NrmSGrpcnsg 19163   GrpHom cghm 19253  SymGrpcsymg 19409  pmSgncpsgn 19529  pmEvencevpm 19530  mulGrpcmgp 20186  Ringcrg 20283  ℂ_fldccnfld 21424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-evpm 19532  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-drng 20781  df-cnfld 21425

This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33332