Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgnsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgnsg 30993
Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
evpmid.1 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
altgnsg (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3416 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6674 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
32cnveqd 5718 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
43imaeq1d 5902 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5 df-evpm 18738 . . . 4 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6 fvex 6687 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
76cnvex 7656 . . . . 5 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
87imaex 7647 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
94, 5, 8fvmpt 6775 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
101, 9syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11 evpmid.1 . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12 eqid 2738 . . . 4 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13 eqid 2738 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1411, 12, 13psgnghm2 20397 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15 cnring 20239 . . . . . 6 fld ∈ Ring
16 eqid 2738 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
1716ringmgp 19422 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19 ax-1cn 10673 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
20 prid1g 4651 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ {1, -1}
22 neg1cn 11830 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
23 prssi 4709 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
2419, 22, 23mp2an 692 . . . . 5 {1, -1} ⊆ ℂ
25 cnfldbas 20221 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2616, 25mgpbas 19364 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfld1 20242 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2816, 27ringidval 19372 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
2913, 26, 28ress0g 18055 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
3018, 21, 24, 29mp3an 1462 . . . 4 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3130ghmker 18502 . . 3 ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
3214, 31syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
3310, 32eqeltrd 2833 1 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  {csn 4516  {cpr 4518  ccnv 5524  cima 5528  cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cc 10613  1c1 10616  -cneg 10949  s cress 16587  0gc0g 16816  Mndcmnd 18027  NrmSGrpcnsg 18392   GrpHom cghm 18473  SymGrpcsymg 18613  pmSgncpsgn 18735  pmEvencevpm 18736  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  fldccnfld 20217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-splice 14201  df-reverse 14210  df-s2 14299  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-efmnd 18150  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-ghm 18474  df-gim 18517  df-oppg 18592  df-symg 18614  df-pmtr 18688  df-psgn 18737  df-evpm 18738  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-cnfld 20218
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30996
  Copyright terms: Public domain W3C validator