Theorem altgnsg 30429

Description: The alternating group (pmEven‘𝐷) is a normal subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
evpmid.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
altgnsg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Proof of Theorem altgnsg

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3455	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6538	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3	2	cnveqd 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
4	3	imaeq1d 5805	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
5		df-evpm 18351	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
6		fvex 6551	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	cnvex 7486	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
8	7	imaex 7477	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
9	4, 5, 8	fvmpt 6635	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
11		evpmid.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
13		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	11, 12, 13	psgnghm2 20407	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		cnring 20249	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
16		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
17	16	ringmgp 18993	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
19		ax-1cn 10441	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		prid1g 4603	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 1 ∈ {1, -1})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
22		neg1cn 11599	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		prssi 4661	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
24	19, 22, 23	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
25		cnfldbas 20231	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	16, 25	mgpbas 18935	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfld1 20252	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
28	16, 27	ringidval 18943	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	13, 26, 28	ress0g 17758	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
30	18, 21, 24, 29	mp3an 1453	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
31	30	ghmker 18125	. . 3 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
32	14, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))
33	10, 32	eqeltrd 2883	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) ∈ (NrmSGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859  {csn 4472  {cpr 4474  ^◡ccnv 5442   “ cima 5446  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  ℂcc 10381  1c1 10384  -cneg 10718   ↾_s cress 16313  0_gc0g 16542  Mndcmnd 17733  NrmSGrpcnsg 18028   GrpHom cghm 18096  SymGrpcsymg 18236  pmSgncpsgn 18348  pmEvencevpm 18349  mulGrpcmgp 18929  Ringcrg 18987  ℂ_fldccnfld 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-xor 1497  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-ot 4481  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-word 13708  df-lsw 13761  df-concat 13769  df-s1 13794  df-substr 13839  df-pfx 13869  df-splice 13948  df-reverse 13957  df-s2 14046  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-nsg 18031  df-ghm 18097  df-gim 18140  df-oppg 18215  df-symg 18237  df-pmtr 18301  df-psgn 18350  df-evpm 18351  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-cnfld 20228

This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30432