Theorem ressply1bas 21742

Description: A restricted polynomial algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem ressply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ressply1bas2 21741	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
10		inss2 4228	. . 3 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
11	9, 10	eqsstrdi 4035	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
12		ressply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
13	12, 8	ressbas2 17178	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  SubRingcsubrg 20351  PwSer₁cps1 21690  Poly₁cpl1 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  21747  ressply1mon1p  32645  ressply1invg  32646  ressply1sub  32647  evls1fvcl  32746