Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv2 46700
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15525. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimdmafv2.2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5895 . . . 4 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
21ibi 266 . . 3 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
4 rlimrel 15467 . . . . . . . . . . . 12 Rel β‡π‘Ÿ
54brrelex1i 5728 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ V)
65adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ V)
7 vex 3467 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ V)
9 breldmg 5906 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
106, 8, 3, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
11 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
1211biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
1312spimevw 1990 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
1413adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
15 rlimdmafv2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
18 rlimdmafv2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
22 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 15524 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
2423ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1923 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧))
2726eu4 2603 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
29 dfdfat2 46570 . . . . . . . . 9 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ β‡π‘Ÿ defAt 𝐹)
31 dfatafv2iota 46652 . . . . . . . 8 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3315adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3418adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)
36 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3733, 34, 35, 36rlimuni 15524 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝑀 = π‘₯)
3837expr 455 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 β†’ 𝑀 = π‘₯))
39 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
403, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
4138, 40impbid 211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4342iota5 6525 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4443elvd 3470 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4532, 44eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = π‘₯)
463, 45breqtrrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹))
4746ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
4847exlimdv 1928 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
492, 48syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
504releldmi 5944 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
5149, 50impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β„©cio 6492  βŸΆwf 6538  supcsup 9461  β„‚cc 11134  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   β‡π‘Ÿ crli 15459   defAt wdfat 46558  ''''cafv2 46650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-rlim 15463  df-dfat 46561  df-afv2 46651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator