Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv2 45564
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15440. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimdmafv2.2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5859 . . . 4 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
4 rlimrel 15382 . . . . . . . . . . . 12 Rel β‡π‘Ÿ
54brrelex1i 5693 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ V)
65adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ V)
7 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ V)
9 breldmg 5870 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
106, 8, 3, 9syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
11 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
1211biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
1312spimevw 1999 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
1413adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
15 rlimdmafv2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
18 rlimdmafv2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 15439 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
2423ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1932 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧))
2726eu4 2616 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
29 dfdfat2 45434 . . . . . . . . 9 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ β‡π‘Ÿ defAt 𝐹)
31 dfatafv2iota 45516 . . . . . . . 8 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3315adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3418adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)
36 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3733, 34, 35, 36rlimuni 15439 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝑀 = π‘₯)
3837expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 β†’ 𝑀 = π‘₯))
39 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
403, 39syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
4138, 40impbid 211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4342iota5 6484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4443elvd 3455 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4532, 44eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = π‘₯)
463, 45breqtrrd 5138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹))
4746ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
4847exlimdv 1937 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
492, 48syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
504releldmi 5908 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
5149, 50impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ!weu 2567  Vcvv 3448   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  β„©cio 6451  βŸΆwf 6497  supcsup 9383  β„‚cc 11056  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   β‡π‘Ÿ crli 15374   defAt wdfat 45422  ''''cafv2 45514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rlim 15378  df-dfat 45425  df-afv2 45515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator