Theorem rlimdmafv2 47851

Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15590. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimdmafv2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv2.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdmafv2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5878	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		rlimrel 15532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ⇝𝑟
5	4	brrelex1i 5707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9		breldmg 5889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
10	6, 8, 3, 9	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11		breq2 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
12	11	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
13	12	spimevw 2008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
15		rlimdmafv2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		rlimdmafv2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
22		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)
23	17, 20, 21, 22	rlimuni 15589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
24	23	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	alrimivv 1951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		breq2 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧))
27	26	eu4 2645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
28	14, 25, 27	sylanbrc 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
29		dfdfat2 47721	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
30	10, 28, 29	sylanbrc 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31		dfatafv2iota 47803	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
33	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
36		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
37	33, 34, 35, 36	rlimuni 15589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
38	37	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 → 𝑤 = 𝑥))
39		breq2 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
40	3, 39	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
41	38, 40	impbid 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
42	41	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
43	42	iota5 6508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
44	43	elvd 3463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
45	32, 44	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = 𝑥)
46	3, 45	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹))
47	46	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
48	47	exlimdv 1956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
49	2, 48	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
50	4	releldmi 5928	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
51	49, 50	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2598  Vcvv 3457   class class class wbr 5104  dom cdm 5651  ℩cio 6479  ⟶wf 6521  supcsup 9388  ℂcc 11086  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ⇝_𝑟 crli 15524   defAt wdfat 47709  ''''cafv2 47801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rlim 15528  df-dfat 47712  df-afv2 47802

This theorem is referenced by: (None)