Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv2 43448
 Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 14900. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv2.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv2.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5760 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 269 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 rlimrel 14842 . . . . . . . . . . . 12 Rel ⇝𝑟
54brrelex1i 5601 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥𝐹 ∈ V)
65adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7 vex 3496 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9 breldmg 5771 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
106, 8, 3, 9syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
1211biimprd 250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1312spimevw 1995 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
1413adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
15 rlimdmafv2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1615adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1716adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18 rlimdmafv2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑦)
22 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 14899 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
2423ex 415 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1923 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧))
2726eu4 2693 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
29 dfdfat2 43318 . . . . . . . . 9 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31 dfatafv2iota 43400 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤))
3315adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3418adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑤)
36 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑥)
3733, 34, 35, 36rlimuni 14899 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
3837expr 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
39 breq2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑤𝐹𝑟 𝑥))
403, 39syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥𝐹𝑟 𝑤))
4138, 40impbid 214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4241adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4342iota5 6331 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4443elvd 3499 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4532, 44eqtrd 2854 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = 𝑥)
463, 45breqtrrd 5085 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹))
4746ex 415 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
4847exlimdv 1928 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
492, 48syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
504releldmi 5811 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
5149, 50impbid1 227 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1529   = wceq 1531  ∃wex 1774   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2647  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ℩cio 6305  ⟶wf 6344  supcsup 8896  ℂcc 10527  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ⇝𝑟 crli 14834   defAt wdfat 43306  ''''cafv2 43398 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-rlim 14838  df-dfat 43309  df-afv2 43399 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator