Theorem rlimdmafv2 45952

Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15491. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimdmafv2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv2.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdmafv2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5896	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 266	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		rlimrel 15433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ⇝𝑟
5	4	brrelex1i 5730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7		vex 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9		breldmg 5907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
10	6, 8, 3, 9	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
12	11	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
13	12	spimevw 1998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
15		rlimdmafv2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		rlimdmafv2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
22		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)
23	17, 20, 21, 22	rlimuni 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
24	23	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	alrimivv 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		breq2 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧))
27	26	eu4 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
28	14, 25, 27	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
29		dfdfat2 45822	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
30	10, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31		dfatafv2iota 45904	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
33	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
36		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
37	33, 34, 35, 36	rlimuni 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
38	37	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 → 𝑤 = 𝑥))
39		breq2 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
40	3, 39	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
41	38, 40	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
43	42	iota5 6523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
44	43	elvd 3481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
45	32, 44	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ''''𝐹) = 𝑥)
46	3, 45	breqtrrd 5175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹))
47	46	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
48	47	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
49	2, 48	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))
50	4	releldmi 5945	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
51	49, 50	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ''''𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2562  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ℩cio 6490  ⟶wf 6536  supcsup 9431  ℂcc 11104  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ⇝_𝑟 crli 15425   defAt wdfat 45810  ''''cafv2 45902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rlim 15429  df-dfat 45813  df-afv2 45903

This theorem is referenced by: (None)