Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv2 46543
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15501. (Contributed by AV, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimdmafv2.2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5892 . . . 4 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
4 rlimrel 15443 . . . . . . . . . . . 12 Rel β‡π‘Ÿ
54brrelex1i 5725 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ V)
65adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ V)
7 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ V)
9 breldmg 5903 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
106, 8, 3, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
11 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
1211biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
1312spimevw 1990 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
15 rlimdmafv2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
18 rlimdmafv2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
22 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 15500 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1923 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧))
2726eu4 2605 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
29 dfdfat2 46413 . . . . . . . . 9 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ β‡π‘Ÿ defAt 𝐹)
31 dfatafv2iota 46495 . . . . . . . 8 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
3315adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3418adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
35 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)
36 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3733, 34, 35, 36rlimuni 15500 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝑀 = π‘₯)
3837expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 β†’ 𝑀 = π‘₯))
39 breq2 5145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
403, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
4138, 40impbid 211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4342iota5 6520 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4443elvd 3475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4532, 44eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) = π‘₯)
463, 45breqtrrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹))
4746ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
4847exlimdv 1928 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
492, 48syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
504releldmi 5941 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
5149, 50impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ ''''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β„©cio 6487  βŸΆwf 6533  supcsup 9437  β„‚cc 11110  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   β‡π‘Ÿ crli 15435   defAt wdfat 46401  ''''cafv2 46493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-rlim 15439  df-dfat 46404  df-afv2 46494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator