Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv 41784
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 14525. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5534 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 258 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 rlimrel 14467 . . . . . . . . . . . 12 Rel ⇝𝑟
54brrelex1i 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥𝐹 ∈ V)
65adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7 vex 3405 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9 breldmg 5545 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
106, 8, 3, 9syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11 breq2 4859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
1211biimprd 239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1312spimev 2435 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
1413adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
15 rlimdmafv.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1615adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1716adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18 rlimdmafv.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑦)
22 simprr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 14524 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
2423ex 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 2019 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 4859 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧))
2726eu4 2692 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
29 dfdfat2 41735 . . . . . . . . 9 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 574 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31 afvfundmfveq 41745 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
33 df-fv 6119 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟𝐹) = (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤)
3415adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3518adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑤)
37 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑥)
3834, 35, 36, 37rlimuni 14524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
3938expr 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
40 breq2 4859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑤𝐹𝑟 𝑥))
413, 40syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥𝐹𝑟 𝑤))
4239, 41impbid 203 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4342adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4443iota5 6094 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4544elvd 3407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4633, 45syl5eq 2863 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟𝐹) = 𝑥)
4732, 46eqtrd 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
483, 47breqtrrd 4883 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
4948ex 399 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
5049exlimdv 2024 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
512, 50syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
524releldmi 5577 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
5351, 52impbid1 216 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  ∃!weu 2641  Vcvv 3402   class class class wbr 4855  dom cdm 5324  cio 6072  wf 6107  cfv 6111  supcsup 8595  cc 10229  +∞cpnf 10366  *cxr 10368   < clt 10369  𝑟 crli 14459   defAt wdfat 41723  '''cafv 41724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-sup 8597  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-rp 12067  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-rlim 14463  df-aiota 41687  df-dfat 41726  df-afv 41727
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator