Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv 43730
 Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 14904. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5735 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 270 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 rlimrel 14846 . . . . . . . . . . . 12 Rel ⇝𝑟
54brrelex1i 5576 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥𝐹 ∈ V)
65adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7 vex 3447 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9 breldmg 5746 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
106, 8, 3, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
1211biimprd 251 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1312spimevw 2001 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
1413adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
15 rlimdmafv.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18 rlimdmafv.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑦)
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 14903 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
2423ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1929 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5037 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧))
2726eu4 2679 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
29 dfdfat2 43681 . . . . . . . . 9 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31 afvfundmfveq 43691 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
33 df-fv 6336 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟𝐹) = (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤)
3415adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3518adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑤)
37 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑥)
3834, 35, 36, 37rlimuni 14903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
3938expr 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
40 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑤𝐹𝑟 𝑥))
413, 40syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥𝐹𝑟 𝑤))
4239, 41impbid 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4342adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4443iota5 6311 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4544elvd 3450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4633, 45syl5eq 2848 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟𝐹) = 𝑥)
4732, 46eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
483, 47breqtrrd 5061 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
4948ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
5049exlimdv 1934 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
512, 50syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
524releldmi 5786 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
5351, 52impbid1 228 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∃!weu 2631  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ℩cio 6285  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  supcsup 8892  ℂcc 10528  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ⇝𝑟 crli 14838   defAt wdfat 43669  '''cafv 43670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-rlim 14842  df-aiota 43639  df-dfat 43672  df-afv 43673 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator