Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rlimdmafv 46185
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15500. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimdmafv.2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹)))
Proof of Theorem rlimdmafv
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5899 . . . 4 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
21ibi 266 . . 3 (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
4 rlimrel 15442 . . . . . . . . . . . 12 Rel β‡π‘Ÿ
54brrelex1i 5733 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ V)
65adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ V)
7 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ V)
9 breldmg 5910 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
106, 8, 3, 9syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
11 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
1211biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
1312spimevw 1997 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
15 rlimdmafv.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
18 rlimdmafv.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
22 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 15499 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1930 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧))
2726eu4 2610 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦 ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑧) β†’ 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦)
29 dfdfat2 46136 . . . . . . . . 9 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ βˆƒ!𝑦 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ β‡π‘Ÿ defAt 𝐹)
31 afvfundmfveq 46146 . . . . . . . 8 ( β‡π‘Ÿ defAt 𝐹 β†’ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹) = ( β‡π‘Ÿ β€˜πΉ))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹) = ( β‡π‘Ÿ β€˜πΉ))
33 df-fv 6552 . . . . . . . 8 ( β‡π‘Ÿ β€˜πΉ) = (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)
3415adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3518adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)
37 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯)
3834, 35, 36, 37rlimuni 15499 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀)) β†’ 𝑀 = π‘₯)
3938expr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 β†’ 𝑀 = π‘₯))
40 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯))
413, 40syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀))
4239, 41impbid 211 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀 ↔ 𝑀 = π‘₯))
4443iota5 6527 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4544elvd 3480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ (℩𝑀𝐹 β‡π‘Ÿ 𝑀) = π‘₯)
4633, 45eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ β€˜πΉ) = π‘₯)
4732, 46eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹) = π‘₯)
483, 47breqtrrd 5177 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹))
4948ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹)))
5049exlimdv 1935 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ 𝐹 β‡π‘Ÿ π‘₯ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹)))
512, 50syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹)))
524releldmi 5948 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
5351, 52impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ 𝐹 β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ '''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆƒ!weu 2561  Vcvv 3473   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β„©cio 6494  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  supcsup 9438  β„‚cc 11111  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   β‡π‘Ÿ crli 15434   defAt wdfat 46124  '''cafv 46125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rlim 15438  df-aiota 46093  df-dfat 46127  df-afv 46128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator