Theorem rlimdmafv 48068

Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15641. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimdmafv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdmafv	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5882	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		rlimrel 15583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ⇝𝑟
5	4	brrelex1i 5711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9		breldmg 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
10	6, 8, 3, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
12	11	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
13	12	spimevw 2018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
15		rlimdmafv.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		rlimdmafv.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
22		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)
23	17, 20, 21, 22	rlimuni 15640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
24	23	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	alrimivv 1961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧))
27	26	eu4 2640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
28	14, 25, 27	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
29		dfdfat2 48019	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
30	10, 28, 29	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31		afvfundmfveq 48029	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
33		df-fv 6541	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
34	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
37		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
38	34, 35, 36, 37	rlimuni 15640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
39	38	expr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 → 𝑤 = 𝑥))
40		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
41	3, 40	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
42	39, 41	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
44	43	iota5 6516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
45	44	elvd 3456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
46	33, 45	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = 𝑥)
47	32, 46	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
48	3, 47	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
50	49	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
51	2, 50	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
52	4	releldmi 5932	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
53	51, 52	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ℩cio 6487  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  supcsup 9413  ℂcc 11125  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ⇝_𝑟 crli 15575   defAt wdfat 48007  '''cafv 48008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-rlim 15579  df-aiota 47976  df-dfat 48010  df-afv 48011

This theorem is used by: (None)