Theorem rlimdmafv 47189

Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15587. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimdmafv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdmafv	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5909	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		rlimrel 15529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ⇝𝑟
5	4	brrelex1i 5741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7		vex 3484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9		breldmg 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
10	6, 8, 3, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
12	11	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
13	12	spimevw 1994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
15		rlimdmafv.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		rlimdmafv.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
22		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)
23	17, 20, 21, 22	rlimuni 15586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	alrimivv 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		breq2 5147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧))
27	26	eu4 2615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
28	14, 25, 27	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
29		dfdfat2 47140	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
30	10, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31		afvfundmfveq 47150	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
33		df-fv 6569	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
37		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
38	34, 35, 36, 37	rlimuni 15586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
39	38	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 → 𝑤 = 𝑥))
40		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
41	3, 40	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
42	39, 41	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
44	43	iota5 6544	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
45	44	elvd 3486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
46	33, 45	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = 𝑥)
47	32, 46	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
48	3, 47	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
50	49	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
51	2, 50	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
52	4	releldmi 5959	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
53	51, 52	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ℩cio 6512  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  supcsup 9480  ℂcc 11153  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ⇝_𝑟 crli 15521   defAt wdfat 47128  '''cafv 47129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rlim 15525  df-aiota 47097  df-dfat 47131  df-afv 47132

This theorem is referenced by: (None)