Theorem rlimdmafv 47165

Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 15458. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimdmafv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdmafv	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5841	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		rlimrel 15400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ⇝𝑟
5	4	brrelex1i 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9		breldmg 5852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
10	6, 8, 3, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11		breq2 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
12	11	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
13	12	spimevw 1985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
15		rlimdmafv.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		rlimdmafv.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
22		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)
23	17, 20, 21, 22	rlimuni 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	alrimivv 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		breq2 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧))
27	26	eu4 2608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
28	14, 25, 27	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
29		dfdfat2 47116	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
30	10, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31		afvfundmfveq 47126	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
33		df-fv 6490	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)
37		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
38	34, 35, 36, 37	rlimuni 15457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
39	38	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 → 𝑤 = 𝑥))
40		breq2 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
41	3, 40	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑤))
42	39, 41	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑥))
44	43	iota5 6465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
45	44	elvd 3442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹 ⇝𝑟 𝑤) = 𝑥)
46	33, 45	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = 𝑥)
47	32, 46	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
48	3, 47	breqtrrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
50	49	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
51	2, 50	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
52	4	releldmi 5890	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
53	51, 52	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ℩cio 6436  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  supcsup 9330  ℂcc 11007  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ⇝_𝑟 crli 15392   defAt wdfat 47104  '''cafv 47105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396  df-aiota 47073  df-dfat 47107  df-afv 47108

This theorem is referenced by: (None)