Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznabel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznabel 43529
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
Assertion
Ref Expression
cznabel ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
21adantr 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 cznrng.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
43zncrng 20383 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑌 ∈ CRing)
6 crngring 19021 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
7 ringabl 19043 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
9 cznrng.x . . . . 5 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
109fveq2i 6496 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
11 baseid 16389 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
12 basendxnmulrndx 16464 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1311, 12setsnid 16385 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
1410, 13eqtr4i 2799 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
159fveq2i 6496 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
16 plusgid 16442 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
17 plusgndxnmulrndx 16463 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1816, 17setsnid 16385 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
1915, 18eqtr4i 2799 . . 3 (+g𝑋) = (+g𝑌)
2014, 19ablprop 18667 . 2 (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
218, 20sylibr 226 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  cop 4441  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  cn 11431  0cn0 11700  ndxcnx 16326   sSet csts 16327  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412  Abelcabl 18657  Ringcrg 19010  CRingccrg 19011  ℤ/nczn 20342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-0g 16561  df-imas 16627  df-qus 16628  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-nsg 18051  df-eqg 18052  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-lidl 19658  df-rsp 19659  df-2idl 19716  df-cnfld 20238  df-zring 20310  df-zn 20346
This theorem is referenced by:  cznrng  43530
  Copyright terms: Public domain W3C validator