Theorem cznabel 48502

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cznabel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12408	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		cznrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4	3	zncrng 21499	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20180	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		ringabl 20216	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
7	2, 4, 5, 6	4syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
8		cznrng.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
9	8	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
10		baseid 17139	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11		basendxnmulrndx 17216	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17135	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
13	9, 12	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
14	8	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
15		plusgid 17204	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
16		plusgndxnmulrndx 17217	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
17	15, 16	setsnid 17135	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
18	14, 17	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑌)
19	13, 18	ablprop 19722	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
20	7, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401   sSet csts 17090  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Abelcabl 19710  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  ℤ/nℤczn 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zn 21461

This theorem is referenced by:  cznrng  48503