Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznabel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznabel 46852
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
Assertion
Ref Expression
cznabel ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 cznrng.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
43zncrng 21100 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ CRing)
6 crngring 20068 . . 3 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
7 ringabl 20098 . . 3 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Abel)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ Abel)
9 cznrng.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
109fveq2i 6895 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
11 baseid 17147 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
12 basendxnmulrndx 17240 . . . . 5 (Baseβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
1311, 12setsnid 17142 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
1410, 13eqtr4i 2764 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘Œ)
159fveq2i 6895 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
16 plusgid 17224 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
17 plusgndxnmulrndx 17242 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
1816, 17setsnid 17142 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
1915, 18eqtr4i 2764 . . 3 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Œ)
2014, 19ablprop 19661 . 2 (𝑋 ∈ Abel ↔ π‘Œ ∈ Abel)
218, 20sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  cznrng  46853
  Copyright terms: Public domain W3C validator