Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznabel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznabel 44518
 Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
Assertion
Ref Expression
cznabel ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
21adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 cznrng.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
43zncrng 20234 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑌 ∈ CRing)
6 crngring 19300 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
7 ringabl 19324 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
9 cznrng.x . . . . 5 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
109fveq2i 6655 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
11 baseid 16534 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
12 basendxnmulrndx 16609 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1311, 12setsnid 16530 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
1410, 13eqtr4i 2848 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
159fveq2i 6655 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
16 plusgid 16587 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
17 plusgndxnmulrndx 16608 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1816, 17setsnid 16530 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
1915, 18eqtr4i 2848 . . 3 (+g𝑋) = (+g𝑌)
2014, 19ablprop 18909 . 2 (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
218, 20sylibr 237 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4545  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ndxcnx 16471   sSet csts 16472  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  .rcmulr 16557  Abelcabl 18898  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289  ℤ/nℤczn 20194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-lidl 19937  df-rsp 19938  df-2idl 19996  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zn 20198 This theorem is referenced by:  cznrng  44519
 Copyright terms: Public domain W3C validator