Theorem cznabel 49450

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cznabel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12616	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		cznrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4	3	zncrng 21855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20477	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		ringabl 20515	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
7	2, 4, 5, 6	4syl 20	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
8		cznrng.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
9	8	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
10		baseid 17395	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11		basendxnmulrndx 17472	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17391	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
13	9, 12	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
14	8	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
15		plusgid 17460	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
16		plusgndxnmulrndx 17473	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
17	15, 16	setsnid 17391	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
18	14, 17	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑌)
19	13, 18	ablprop 20012	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
20	7, 19	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609   sSet csts 17346  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Abelcabl 20000  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465  ℤ/nℤczn 21813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-0g 17617  df-imas 17685  df-qus 17686  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-nsg 19339  df-eqg 19340  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-lidl 21491  df-rsp 21492  df-2idl 21548  df-cnfld 21684  df-zring 21758  df-zn 21817

This theorem is used by:  cznrng  49451