Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznabel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznabel 47313
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
Assertion
Ref Expression
cznabel ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12504 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 cznrng.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
43zncrng 21472 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ CRing)
6 crngring 20179 . . 3 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
7 ringabl 20211 . . 3 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Abel)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ Abel)
9 cznrng.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
109fveq2i 6895 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
11 baseid 17177 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
12 basendxnmulrndx 17270 . . . . 5 (Baseβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
1311, 12setsnid 17172 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
1410, 13eqtr4i 2759 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘Œ)
159fveq2i 6895 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
16 plusgid 17254 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
17 plusgndxnmulrndx 17272 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
1816, 17setsnid 17172 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
1915, 18eqtr4i 2759 . . 3 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Œ)
2014, 19ablprop 19742 . 2 (𝑋 ∈ Abel ↔ π‘Œ ∈ Abel)
218, 20sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4631  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497   sSet csts 17126  ndxcnx 17156  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  Abelcabl 19730  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  β„€/nβ„€czn 21422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17417  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-nsg 19073  df-eqg 19074  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-rsp 21099  df-2idl 21138  df-cnfld 21274  df-zring 21367  df-zn 21426
This theorem is referenced by:  cznrng  47314
  Copyright terms: Public domain W3C validator