Theorem cznabel 48245

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cznabel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12409	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		cznrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4	3	zncrng 21469	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20148	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		ringabl 20184	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
7	2, 4, 5, 6	4syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
8		cznrng.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
9	8	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
10		baseid 17141	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11		basendxnmulrndx 17218	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17137	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
13	9, 12	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
14	8	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
15		plusgid 17206	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
16		plusgndxnmulrndx 17219	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
17	15, 16	setsnid 17137	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
18	14, 17	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑌)
19	13, 18	ablprop 19690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
20	7, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Abelcabl 19678  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  ℤ/nℤczn 21427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-2idl 21175  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zn 21431

This theorem is referenced by:  cznrng  48246