Theorem cznabel 49572

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cznabel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12643	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		cznrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4	3	zncrng 21883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20505	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		ringabl 20543	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
7	2, 4, 5, 6	4syl 20	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
8		cznrng.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
9	8	fveq2i 6914	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
10		baseid 17422	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11		basendxnmulrndx 17499	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17418	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
13	9, 12	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑌)
14	8	fveq2i 6914	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
15		plusgid 17487	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
16		plusgndxnmulrndx 17500	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
17	15, 16	setsnid 17418	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
18	14, 17	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑌)
19	13, 18	ablprop 20040	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Abel ↔ 𝑌 ∈ Abel)
20	7, 19	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636   sSet csts 17373  ndxcnx 17403  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  Abelcabl 20028  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493  ℤ/nℤczn 21841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-ec 8750  df-qs 8754  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-0g 17644  df-imas 17712  df-qus 17713  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-nsg 19366  df-eqg 19367  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-2idl 21576  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zn 21845

This theorem is used by:  cznrng  49573