Theorem mpfmulcl 19895

Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mpfmulcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))
2		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))
3		mpfsubrg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
4	3	mpfrcl 19878	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
5	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
6	5	simp2d 1177	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑆 ∈ CRing)
7		ovexd 6939	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
8	3	mpfsubrg 19892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
10	2	subrgss 19137	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
12		simpl 476	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ 𝑄)
13	11, 12	sseldd 3828	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
14		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ 𝑄)
15	11, 14	sseldd 3828	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
16		mpfmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
17		eqid 2825	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))
18	1, 2, 6, 7, 13, 15, 16, 17	pwsmulrval 16504	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))
19	17	subrgmcl 19148	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
20	19	3expib 1156	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄))
21	9, 20	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
22	18, 21	eqeltrrd 2907	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ran crn 5343  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ∘_𝑓 cof 7155   ↑_𝑚 cmap 8122  Basecbs 16222  ._rcmulr 16306   ↑_s cpws 16460  CRingccrg 18902  SubRingcsubrg 19132   evalSub ces 19864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-ofr 7158  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-srg 18860  df-ring 18903  df-cring 18904  df-rnghom 19071  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-assa 19673  df-asp 19674  df-ascl 19675  df-psr 19717  df-mvr 19718  df-mpl 19719  df-evls 19866

This theorem is referenced by:  mzpmfp  38147