Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfmulcl 20869
 Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfmulcl.t · = (.r𝑆)
Assertion
Ref Expression
mpfmulcl ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfmulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
2 eqid 2758 . . 3 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
3 mpfsubrg.q . . . . . 6 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
43mpfrcl 20848 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
54adantr 484 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
65simp2d 1140 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑆 ∈ CRing)
7 ovexd 7185 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
83mpfsubrg 20866 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
95, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
102subrgss 19604 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
12 simpl 486 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹𝑄)
1311, 12sseldd 3893 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
14 simpr 488 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺𝑄)
1511, 14sseldd 3893 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
16 mpfmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
17 eqid 2758 . . 3 (.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
181, 2, 6, 7, 13, 15, 16, 17pwsmulrval 16822 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) = (𝐹f · 𝐺))
1917subrgmcl 19615 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ 𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
20193expib 1119 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄))
219, 20mpcom 38 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
2218, 21eqeltrrd 2853 1 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ran crn 5525  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   ↑m cmap 8416  Basecbs 16541  .rcmulr 16624   ↑s cpws 16778  CRingccrg 19366  SubRingcsubrg 19599   evalSub ces 20833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-srg 19324  df-ring 19367  df-cring 19368  df-rnghom 19538  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-assa 20618  df-asp 20619  df-ascl 20620  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-evls 20835 This theorem is referenced by:  mzpmfp  40083
 Copyright terms: Public domain W3C validator