Theorem yoncl 18219

Description: The Yoneda embedding is a functor from the category to the category 𝑄 of presheaves on 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yonval.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yonval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yonval.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
yoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem yoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yonval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
2		yonval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		yonval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (HomF‘𝑂) = (HomF‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	yonval 18218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)))
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂))
7		yoncl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
8	3	oppccat 17679	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		yoncl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		yoncl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		yoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
13	3, 4, 10, 2, 11, 12	oppchofcl 18217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝑂) ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝑆))
14	6, 7, 2, 9, 13	curfcl 18189	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
15	5, 14	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4561  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Catccat 17621  Hom_f chomf 17623  oppCatcoppc 17668   Func cfunc 17812   FuncCat cfuc 17903  SetCatcsetc 18033   curry_F ccurf 18167  Hom_Fchof 18205  Yoncyon 18206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-func 17816  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-setc 18034  df-xpc 18129  df-curf 18171  df-hof 18207  df-yon 18208

This theorem is referenced by:  yon1cl  18220  oyoncl  18227  yonedalem1  18229  yonedalem21  18230  yonedalem22  18235  yonedalem3b  18236  yonedainv  18238  yonffthlem  18239  yoniso  18242