Theorem yoncl 18069

Description: The Yoneda embedding is a functor from the category to the category 𝑄 of presheaves on 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yonval.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yonval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yonval.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
yoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem yoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yonval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
2		yonval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		yonval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (HomF‘𝑂) = (HomF‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	yonval 18068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂))
7		yoncl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
8	3	oppccat 17522	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		yoncl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		yoncl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		yoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
13	3, 4, 10, 2, 11, 12	oppchofcl 18067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝑂) ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝑆))
14	6, 7, 2, 9, 13	curfcl 18039	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
15	5, 14	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4578  ran crn 5615  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  Catccat 17462  Hom_f chomf 17464  oppCatcoppc 17509   Func cfunc 17658   FuncCat cfuc 17747  SetCatcsetc 17879   curry_F ccurf 18017  Hom_Fchof 18055  Yoncyon 18056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-hom 17075  df-cco 17076  df-cat 17466  df-cid 17467  df-homf 17468  df-comf 17469  df-oppc 17510  df-func 17662  df-nat 17748  df-fuc 17749  df-setc 17880  df-xpc 17978  df-curf 18021  df-hof 18057  df-yon 18058

This theorem is referenced by:  yon1cl  18070  oyoncl  18077  yonedalem1  18079  yonedalem21  18080  yonedalem22  18085  yonedalem3b  18086  yonedainv  18088  yonffthlem  18089  yoniso  18092