Theorem yoncl 18313

Description: The Yoneda embedding is a functor from the category to the category 𝑄 of presheaves on 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yonval.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yonval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yonval.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
yoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Proof of Theorem yoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yonval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
2		yonval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		yonval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (HomF‘𝑂) = (HomF‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	yonval 18312	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) = (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂))
7		yoncl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
8	3	oppccat 17773	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		yoncl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		yoncl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		yoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
13	3, 4, 10, 2, 11, 12	oppchofcl 18311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝑂) ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝑆))
14	6, 7, 2, 9, 13	curfcl 18283	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝑂⟩ curryF (HomF‘𝑂)) ∈ (𝐶 Func 𝑄))
15	5, 14	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4595  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Catccat 17715  Hom_f chomf 17717  oppCatcoppc 17762   Func cfunc 17906   FuncCat cfuc 17997  SetCatcsetc 18127   curry_F ccurf 18261  Hom_Fchof 18299  Yoncyon 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-comf 17722  df-oppc 17763  df-func 17910  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-setc 18128  df-xpc 18223  df-curf 18265  df-hof 18301  df-yon 18302

This theorem is referenced by:  yon1cl  18314  oyoncl  18321  yonedalem1  18323  yonedalem21  18324  yonedalem22  18329  yonedalem3b  18330  yonedainv  18332  yonffthlem  18333  yoniso  18336