Theorem znbas 20864

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbas.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
znbas	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s 𝑅))
2		zringbas 20789	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		znbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
5	4	ovexi 7383	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ V)
7		zringring 20786	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
9	1, 3, 6, 8	qusbas 17361	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘(ℤring /s 𝑅)))
10		znbas.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
11	4	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
12		znbas.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
13	10, 11, 12	znbas2 20857	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s 𝑅)) = (Base‘𝑌))
14	9, 13	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  {csn 4584  ‘cfv 6491  (class class class)co 7349   / cqs 8580  ℕ₀cn0 12346  ℤcz 12432  Basecbs 17017   /_s cqus 17321   ~_QG cqg 18855  Ringcrg 19885  RSpancrsp 20546  ℤ_ringczring 20783  ℤ/nℤczn 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-addf 11063  ax-mulf 11064

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-ec 8583  df-qs 8587  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-fz 13353  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-0g 17257  df-imas 17324  df-qus 17325  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18684  df-minusg 18685  df-subg 18856  df-cmn 19491  df-mgp 19823  df-ur 19840  df-ring 19887  df-cring 19888  df-subrg 20134  df-cnfld 20711  df-zring 20784  df-zn 20821

This theorem is referenced by:  znzrhfo  20868