Theorem ply1termlem 15736

Description: Lemma for ply1term 15737. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1termlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ply1termlem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1term.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 9910	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzss1 10421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
7		elfz1eq 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
8	7	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 = 𝑁)
9		iftrue 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
11		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 12	eqeltrd 2311	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	8, 15	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 11063	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 8310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		eldifn 3346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
21	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		fzsn 10424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
24	23	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑁}))
25		elsn2g 3727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑁} ↔ 𝑘 = 𝑁))
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
28	20, 27	mtbid 679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 = 𝑁)
29	28	iffalsed 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
30	29	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
31		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
32		eldifi 3345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33		elfznn0 10473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		expcl 10946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
37	36	mul02d 8683	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
38	30, 37	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
39		elfzelz 10381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (0...𝑁) → 𝑤 ∈ ℤ)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0...𝑁)) → 𝑤 ∈ ℤ)
41	2	nn0zd 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		fzdcel 10397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑤 ∈ (𝑁...𝑁))
44	40, 42, 42, 43	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑤 ∈ (𝑁...𝑁))
45	44	ralrimiva 2617	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ∀𝑤 ∈ (0...𝑁)DECID 𝑤 ∈ (𝑁...𝑁))
46		0zd 9609	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
47	46, 41	fzfigd 10820	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
48	6, 18, 38, 45, 47	fisumss 12106	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
49	31, 2	expcld 11063	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑𝑁) ∈ ℂ)
50	11, 49	mulcld 8310	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ)
51		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑁))
52	9, 51	oveq12d 6076	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
53	52	fsum1 12126	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
54	41, 50, 53	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
55	48, 54	eqtr3d 2269	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
56	55	mpteq2dva 4205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁))))
57	1, 56	eqtr4id 2286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211   ⊆ wss 3214  ifcif 3624  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143   · cmul 8148  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874  ...cfz 10364  ↑cexp 10927  Σcsu 12066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067

This theorem is referenced by:  ply1term  15737