Theorem zar0ring 31828

Description: The Zariski Topology of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zar0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zar0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem zar0ring

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2		zartop.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
6	2, 3, 4, 5	rspectopn 31817	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
8	1, 7	eqtr4id 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
9		fvex 6787	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
10	9	rabex 5256	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ V
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
12	10, 11	fnmpti 6576	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅))
14		zar0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	0ringidl 31605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
17		snex 5354	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {(0g‘𝑅)} ∈ V)
19	18	snn0d 4711	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {{(0g‘𝑅)}} ≠ ∅)
20	16, 19	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅)
21	14	0ringprmidl 31625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
22	21	rabeqdv 3419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
23		rab0 4316	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅)
25	24	mpteq2dv 5176	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅))
26		fconstmpt 5649	. . . 4 ⊢ ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅)
27	25, 26	eqtr4di 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}))
28		fconst5 7081	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) ↔ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅}))
29	28	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅})) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
30	13, 20, 27, 29	syl21anc 835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
31	8, 30	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  1c1 10872  ♯chash 14044  Basecbs 16912  TopOpenctopn 17132  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  LIdealclidl 20432  PrmIdealcprmidl 31610  Speccrspec 31812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-prmidl 31611  df-idlsrg 31646  df-rspec 31813

This theorem is referenced by:  zarcmplem  31831