Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zar0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zar0ring 32459
Description: The Zariski Topology of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zar0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zar0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem zar0ring
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zartop.2 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2 zartop.1 . . . . 5 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 eqid 2736 . . . . 5 (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
5 eqid 2736 . . . . 5 ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗})
62, 3, 4, 5rspectopn 32448 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
76adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
81, 7eqtr4id 2795 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}))
9 fvex 6855 . . . . . 6 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
109rabex 5289 . . . . 5 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗} ∈ V
11 eqid 2736 . . . . 5 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗})
1210, 11fnmpti 6644 . . . 4 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅)
1312a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅))
14 zar0ring.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
15 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1614, 150ringidl 32202 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g𝑅)}})
17 snex 5388 . . . . . 6 {(0g𝑅)} ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {(0g𝑅)} ∈ V)
1918snn0d 4736 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {{(0g𝑅)}} ≠ ∅)
2016, 19eqnetrd 3011 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅)
21140ringprmidl 32222 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
2221rabeqdv 3422 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖𝑗})
23 rab0 4342 . . . . . 6 {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖𝑗} = ∅
2422, 23eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗} = ∅)
2524mpteq2dv 5207 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅))
26 fconstmpt 5694 . . . 4 ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅)
2725, 26eqtr4di 2794 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}))
28 fconst5 7155 . . . 4 (((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) ↔ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {∅}))
2928biimpa 477 . . 3 ((((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅})) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {∅})
3013, 20, 27, 29syl21anc 836 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖𝑗}) = {∅})
318, 30eqtrd 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634   Fn wfn 6491  cfv 6496  1c1 11052  chash 14230  Basecbs 17083  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321  Ringcrg 19964  LIdealclidl 20631  PrmIdealcprmidl 32207  Speccrspec 32443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-prmidl 32208  df-idlsrg 32243  df-rspec 32444
This theorem is referenced by:  zarcmplem  32462
  Copyright terms: Public domain W3C validator