Theorem zar0ring 34332

Description: The Zariski Topology of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zar0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zar0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem zar0ring

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2		zartop.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
6	2, 3, 4, 5	rspectopn 34321	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
8	1, 7	eqtr4id 2819	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
9		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
10	9	rabex 5311	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ V
11		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
12	10, 11	fnmpti 6682	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅))
14		zar0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	0ringidl 21410	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
17		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {(0g‘𝑅)} ∈ V)
19	18	snn0d 4743	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {{(0g‘𝑅)}} ≠ ∅)
20	16, 19	eqnetrd 3027	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅)
21	14	0ringprmidl 21527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
22	21	rabeqdv 3433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
23		rab0 4342	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅)
25	24	mpteq2dv 5207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅))
26		fconstmpt 5725	. . . 4 ⊢ ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅)
27	25, 26	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}))
28		fconst5 7211	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) ↔ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅}))
29	28	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅})) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
30	13, 20, 27, 29	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
31	8, 30	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  1c1 11116  ♯chash 14384  Basecbs 17291  TopOpenctopn 17496  0_gc0g 17514  Ringcrg 20359  LIdealclidl 21380  PrmIdealcprmidl 21510  Speccrspec 34316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-lidl 21382  df-prmidl 21511  df-idlsrg 33855  df-rspec 34317

This theorem is used by:  zarcmplem  34335