Theorem zar0ring 31730

Description: The Zariski Topology of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zar0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zar0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem zar0ring

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2		zartop.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
6	2, 3, 4, 5	rspectopn 31719	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
8	1, 7	eqtr4id 2798	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
9		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
10	9	rabex 5251	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ V
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
12	10, 11	fnmpti 6560	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅))
14		zar0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	0ringidl 31507	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
17		snex 5349	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {(0g‘𝑅)} ∈ V)
19	18	snn0d 4708	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {{(0g‘𝑅)}} ≠ ∅)
20	16, 19	eqnetrd 3010	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅)
21	14	0ringprmidl 31527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
22	21	rabeqdv 3409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
23		rab0 4313	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅)
25	24	mpteq2dv 5172	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅))
26		fconstmpt 5640	. . . 4 ⊢ ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅)
27	25, 26	eqtr4di 2797	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}))
28		fconst5 7063	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) ↔ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅}))
29	28	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅})) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
30	13, 20, 27, 29	syl21anc 834	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
31	8, 30	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  1c1 10803  ♯chash 13972  Basecbs 16840  TopOpenctopn 17049  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  LIdealclidl 20347  PrmIdealcprmidl 31512  Speccrspec 31714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-prmidl 31513  df-idlsrg 31548  df-rspec 31715

This theorem is referenced by:  zarcmplem  31733