Theorem zar0ring 33878

Description: The Zariski Topology of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zar0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zar0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem zar0ring

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
2		zartop.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
6	2, 3, 4, 5	rspectopn 33867	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (TopOpen‘𝑆))
8	1, 7	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
9		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
10	9	rabex 5338	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ V
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
12	10, 11	fnmpti 6710	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅))
14		zar0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	0ringidl 33450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
17		snex 5435	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {(0g‘𝑅)} ∈ V)
19	18	snn0d 4774	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {{(0g‘𝑅)}} ≠ ∅)
20	16, 19	eqnetrd 3007	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅)
21	14	0ringprmidl 33478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
22	21	rabeqdv 3451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
23		rab0 4385	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ∅ ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗} = ∅)
25	24	mpteq2dv 5243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅))
26		fconstmpt 5746	. . . 4 ⊢ ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ ∅)
27	25, 26	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}))
28		fconst5 7227	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅}) ↔ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅}))
29	28	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) Fn (LIdeal‘𝑅) ∧ (LIdeal‘𝑅) ≠ ∅) ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = ((LIdeal‘𝑅) × {∅})) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
30	13, 20, 27, 29	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = {∅})
31	8, 30	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐽 = {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ran crn 5685   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  1c1 11157  ♯chash 14370  Basecbs 17248  TopOpenctopn 17467  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217  PrmIdealcprmidl 33464  Speccrspec 33862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-prmidl 33465  df-idlsrg 33530  df-rspec 33863

This theorem is referenced by:  zarcmplem  33881