Theorem dvdsprm 16662

Description: An integer greater than or equal to 2 divides a prime number iff it is equal to it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))

Proof of Theorem dvdsprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 ∥ 𝑃))
2		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 = 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))
3	1, 2	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃)))
4	3	rspcv 3561	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃)))
5		isprm4 16642	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
6	5	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
7	4, 6	impel 505	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 → 𝑁 = 𝑃))
8		eluzelz 12787	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		iddvds 16227	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑃 → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑃))
11	9, 10	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 = 𝑃 → 𝑁 ∥ 𝑃))
14	7, 13	impbid 212	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∥ 𝑃 ↔ 𝑁 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  2c2 12225  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-prm 16630

This theorem is referenced by:  prmrp  16671  prmdvdsexpb  16675  oddprm  16770  4sqlem17  16921  prmlem0  17065  ppiublem1  27184  chtub  27194  lgsval2lem  27289  lgsqr  27333  lgseisenlem4  27360  lgsquadlem1  27362  lgsquad2  27368  m1lgs  27370  2sqcoprm  27417  ostth3  27620  ex-mod  30539  aks6d1c7  42634  lighneallem2  48066