Theorem gpg5grlim 49284

Description: A local isomorphism between the two generalized Petersen graphs G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 28-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5grlim	⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Proof of Theorem gpg5grlim

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13013	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		3z 12732	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		1lt3 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
4		eluz2b1 13049	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
5	2, 3, 4	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
6		fzo1lb 13851	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^3) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^3)
8		ceil5half3 48509	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
9	8	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
10	9	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	7, 10	eleqtri 2858	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
12		gpgusgra 49248	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
13	1, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph
14		pgjsgr 49283	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15		f1oi 6863	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))
16		5nn 12432	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
17		pglem 49282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
18		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) = ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))))
19	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
22	20, 21	gpgvtx 49234	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
23	19, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
24	20, 21	gpgvtx 49234	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = ({0, 1} × (0..^5)))
25	18, 23, 24	f1oeq123d 6818	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))))
26	16, 17, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5)))
27	15, 26	mpbir 234	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
28	13, 14, 27	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)))
29		2eluzge1 13012	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
30		eluzfz1 13667	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
32		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
33	32	gpg5gricstgr3 49281	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (1...2) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
34	31, 33	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
35	34	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
36		eluzfz2 13668	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
37	29, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1...2)
38		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
39	38	gpg5gricstgr3 49281	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (1...2) ∧ 𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
40	37, 39	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
41	40	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
42		3nn0 12627	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))
44		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
45	42, 43, 44	clnbgr3stgrgrlim 49210	. 2 ⊢ ((((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3) ∧ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2)))
46	28, 35, 41, 45	mp3an 1490	1 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {cpr 4586   class class class wbr 5102   I cid 5544   × cxp 5648   ↾ cres 5652  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   < clt 11346   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  5c5 12403  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ⌈cceil 13934  Vtxcvtx 29579  USGraphcusgr 29735   ClNeighbVtx cclnbgr 49009   ISubGr cisubgr 49051   ≃_𝑔𝑟 cgric 49067  StarGrcstgr 49142   GraphLocIso cgrlim 49167   gPetersenGr cgpg 49231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-ceil 13936  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-edgf 29572  df-vtx 29581  df-iedg 29582  df-edg 29631  df-uhgr 29641  df-ushgr 29642  df-upgr 29665  df-umgr 29666  df-uspgr 29736  df-usgr 29737  df-subgr 29854  df-nbgr 29919  df-clnbgr 49010  df-isubgr 49052  df-grim 49069  df-gric 49072  df-stgr 49143  df-grlim 49169  df-gpg 49232

This theorem is used by:  grlimedgnedg  49322