Theorem gpg5grlim 48679

Description: A local isomorphism between the two generalized Petersen graphs G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 28-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5grlim	⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Proof of Theorem gpg5grlim

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12881	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		3z 12601	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		1lt3 12390	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
4		eluz2b1 12917	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
5	2, 3, 4	mpbir2an 721	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
6		fzo1lb 13716	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^3) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^3)
8		ceil5half3 47904	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
9	8	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
10	9	oveq2i 7403	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	7, 10	eleqtri 2859	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
12		gpgusgra 48643	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
13	1, 11, 12	mp2an 702	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph
14		pgjsgr 48678	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15		f1oi 6841	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))
16		5nn 12301	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
17		pglem 48677	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
18		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) = ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))))
19	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
22	20, 21	gpgvtx 48629	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
23	19, 22	sylan2 602	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
24	20, 21	gpgvtx 48629	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = ({0, 1} × (0..^5)))
25	18, 23, 24	f1oeq123d 6796	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))))
26	16, 17, 25	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5)))
27	15, 26	mpbir 233	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
28	13, 14, 27	3pm3.2i 1352	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)))
29		2eluzge1 12880	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
30		eluzfz1 13533	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
32		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
33	32	gpg5gricstgr3 48676	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (1...2) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
34	31, 33	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
35	34	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
36		eluzfz2 13534	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
37	29, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1...2)
38		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
39	38	gpg5gricstgr3 48676	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (1...2) ∧ 𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
40	37, 39	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
41	40	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
42		3nn0 12496	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))
44		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
45	42, 43, 44	clnbgr3stgrgrlim 48605	. 2 ⊢ ((((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3) ∧ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2)))
46	28, 35, 41, 45	mp3an 1481	1 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {cpr 4583   class class class wbr 5099   I cid 5539   × cxp 5643   ↾ cres 5647  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  ⌈cceil 13798  Vtxcvtx 29143  USGraphcusgr 29296   ClNeighbVtx cclnbgr 48404   ISubGr cisubgr 48446   ≃_𝑔𝑟 cgric 48462  StarGrcstgr 48537   GraphLocIso cgrlim 48562   gPetersenGr cgpg 48626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-ceil 13800  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-edgf 29136  df-vtx 29145  df-iedg 29146  df-edg 29195  df-uhgr 29205  df-ushgr 29206  df-upgr 29229  df-umgr 29230  df-uspgr 29297  df-usgr 29298  df-subgr 29415  df-nbgr 29480  df-clnbgr 48405  df-isubgr 48447  df-grim 48464  df-gric 48467  df-stgr 48538  df-grlim 48564  df-gpg 48627

This theorem is referenced by:  grlimedgnedg  48717