Theorem gpg5grlim 49135

Description: A local isomorphism between the two generalized Petersen graphs G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 28-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5grlim	⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Proof of Theorem gpg5grlim

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12991	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		3z 12710	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		1lt3 12499	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
4		eluz2b1 13027	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
5	2, 3, 4	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
6		fzo1lb 13828	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^3) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^3)
8		ceil5half3 48360	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
9	8	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
10	9	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	7, 10	eleqtri 2859	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
12		gpgusgra 49099	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
13	1, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph
14		pgjsgr 49134	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15		f1oi 6855	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))
16		5nn 12410	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
17		pglem 49133	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
18		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) = ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))))
19	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
22	20, 21	gpgvtx 49085	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
23	19, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
24	20, 21	gpgvtx 49085	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = ({0, 1} × (0..^5)))
25	18, 23, 24	f1oeq123d 6810	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))))
26	16, 17, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5)))
27	15, 26	mpbir 234	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
28	13, 14, 27	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)))
29		2eluzge1 12990	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
30		eluzfz1 13644	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
32		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
33	32	gpg5gricstgr3 49132	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (1...2) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
34	31, 33	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
35	34	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
36		eluzfz2 13645	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
37	29, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1...2)
38		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
39	38	gpg5gricstgr3 49132	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (1...2) ∧ 𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
40	37, 39	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
41	40	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
42		3nn0 12605	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))
44		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
45	42, 43, 44	clnbgr3stgrgrlim 49061	. 2 ⊢ ((((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3) ∧ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2)))
46	28, 35, 41, 45	mp3an 1490	1 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {cpr 4586   class class class wbr 5103   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  5c5 12381  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ⌈cceil 13911  Vtxcvtx 29556  USGraphcusgr 29712   ClNeighbVtx cclnbgr 48860   ISubGr cisubgr 48902   ≃_𝑔𝑟 cgric 48918  StarGrcstgr 48993   GraphLocIso cgrlim 49018   gPetersenGr cgpg 49082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-ceil 13913  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-edgf 29549  df-vtx 29558  df-iedg 29559  df-edg 29608  df-uhgr 29618  df-ushgr 29619  df-upgr 29642  df-umgr 29643  df-uspgr 29713  df-usgr 29714  df-subgr 29831  df-nbgr 29896  df-clnbgr 48861  df-isubgr 48903  df-grim 48920  df-gric 48923  df-stgr 48994  df-grlim 49020  df-gpg 49083

This theorem is used by:  grlimedgnedg  49173