Theorem gpg5grlim 48899

Description: A local isomorphism between the two generalized Petersen graphs G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 28-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5grlim	⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Proof of Theorem gpg5grlim

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12925	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		3z 12645	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		1lt3 12434	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
4		eluz2b1 12961	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
5	2, 3, 4	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
6		fzo1lb 13761	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^3) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^3)
8		ceil5half3 48124	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
9	8	eqcomi 2775	. . . . . 6 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
10	9	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	7, 10	eleqtri 2864	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
12		gpgusgra 48863	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
13	1, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph
14		pgjsgr 48898	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15		f1oi 6866	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))
16		5nn 12345	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
17		pglem 48897	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
18		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) = ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))))
19	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
21		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
22	20, 21	gpgvtx 48849	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
23	19, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
24	20, 21	gpgvtx 48849	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = ({0, 1} × (0..^5)))
25	18, 23, 24	f1oeq123d 6821	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))))
26	16, 17, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5)))
27	15, 26	mpbir 234	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
28	13, 14, 27	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)))
29		2eluzge1 12924	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
30		eluzfz1 13577	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
32		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
33	32	gpg5gricstgr3 48896	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (1...2) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
34	31, 33	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
35	34	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
36		eluzfz2 13578	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
37	29, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1...2)
38		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
39	38	gpg5gricstgr3 48896	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (1...2) ∧ 𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
40	37, 39	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
41	40	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
42		3nn0 12540	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))
44		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
45	42, 43, 44	clnbgr3stgrgrlim 48825	. 2 ⊢ ((((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3) ∧ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2)))
46	28, 35, 41, 45	mp3an 1490	1 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {cpr 4596   class class class wbr 5114   I cid 5560   × cxp 5664   ↾ cres 5668  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   < clt 11261   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ⌈cceil 13844  Vtxcvtx 29383  USGraphcusgr 29536   ClNeighbVtx cclnbgr 48624   ISubGr cisubgr 48666   ≃_𝑔𝑟 cgric 48682  StarGrcstgr 48757   GraphLocIso cgrlim 48782   gPetersenGr cgpg 48846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-ceil 13846  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-edgf 29376  df-vtx 29385  df-iedg 29386  df-edg 29435  df-uhgr 29445  df-ushgr 29446  df-upgr 29469  df-umgr 29470  df-uspgr 29537  df-usgr 29538  df-subgr 29655  df-nbgr 29720  df-clnbgr 48625  df-isubgr 48667  df-grim 48684  df-gric 48687  df-stgr 48758  df-grlim 48784  df-gpg 48847

This theorem is used by:  grlimedgnedg  48937