Theorem gpg5grlim 49017

Description: A local isomorphism between the two generalized Petersen graphs G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 28-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5grlim	⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

Proof of Theorem gpg5grlim

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12936	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		3z 12655	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		1lt3 12444	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
4		eluz2b1 12972	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
5	2, 3, 4	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
6		fzo1lb 13773	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^3) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^3)
8		ceil5half3 48242	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
9	8	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
10	9	oveq2i 7428	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	7, 10	eleqtri 2860	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
12		gpgusgra 48981	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
13	1, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph
14		pgjsgr 49016	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15		f1oi 6860	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))
16		5nn 12355	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
17		pglem 49015	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
18		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) = ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))))
19	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
21		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
22	20, 21	gpgvtx 48967	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
23	19, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^5)))
24	20, 21	gpgvtx 48967	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = ({0, 1} × (0..^5)))
25	18, 23, 24	f1oeq123d 6815	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5))))
26	16, 17, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):({0, 1} × (0..^5))–1-1-onto→({0, 1} × (0..^5)))
27	15, 26	mpbir 234	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
28	13, 14, 27	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2)))
29		2eluzge1 12935	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
30		eluzfz1 13589	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
32		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
33	32	gpg5gricstgr3 49014	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (1...2) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
34	31, 33	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) → ((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
35	34	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
36		eluzfz2 13590	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
37	29, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1...2)
38		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
39	38	gpg5gricstgr3 49014	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (1...2) ∧ 𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
40	37, 39	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) → ((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
41	40	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)
42		3nn0 12550	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))
44		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2)) = (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))
45	42, 43, 44	clnbgr3stgrgrlim 48943	. 2 ⊢ ((((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph ∧ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))):(Vtx‘(5 gPetersenGr 1))–1-1-onto→(Vtx‘(5 gPetersenGr 2))) ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 1))((5 gPetersenGr 1) ISubGr ((5 gPetersenGr 1) ClNeighbVtx 𝑣)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3) ∧ ∀𝑤 ∈ (Vtx‘(5 gPetersenGr 2))((5 gPetersenGr 2) ISubGr ((5 gPetersenGr 2) ClNeighbVtx 𝑤)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)) → ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2)))
46	28, 35, 41, 45	mp3an 1490	1 ⊢ ( I ↾ ({0, 1} × (0..^5))) ∈ ((5 gPetersenGr 1) GraphLocIso (5 gPetersenGr 2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {cpr 4589   class class class wbr 5107   I cid 5553   × cxp 5657   ↾ cres 5661  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  5c5 12326  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  ⌈cceil 13856  Vtxcvtx 29461  USGraphcusgr 29617   ClNeighbVtx cclnbgr 48742   ISubGr cisubgr 48784   ≃_𝑔𝑟 cgric 48800  StarGrcstgr 48875   GraphLocIso cgrlim 48900   gPetersenGr cgpg 48964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-ceil 13858  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-edgf 29454  df-vtx 29463  df-iedg 29464  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-ushgr 29524  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-uspgr 29618  df-usgr 29619  df-subgr 29736  df-nbgr 29801  df-clnbgr 48743  df-isubgr 48785  df-grim 48802  df-gric 48805  df-stgr 48876  df-grlim 48902  df-gpg 48965

This theorem is used by:  grlimedgnedg  49055