Theorem pgnbgreunbgrlem5lem3 48102

Description: Lemma 3 for pgnbgreunbgrlem5 48103. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem3	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12848	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48072	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		ovex 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7978	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 0
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48044	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 0 ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		1ex 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
16		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
17	15, 16	opth 5438	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)))
18		ax-1ne0 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → 1 ≠ 0)
20	19	necon2bi 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5438	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 1) mod 5)
26	25	eqeq2i 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5))
27	9, 11	pgnioedg5 48092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
29		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
30	29	preq1d 4705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
31	30	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
32	31	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
33	28, 32	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	26, 33	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	24, 34	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	35	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	15, 16	opth 5438	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)))
38	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
39	37, 38	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
41	23, 36, 40	3jaod 1431	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
42	14, 41	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
43	42	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44		preq1 4699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
45	44	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
46	45	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
47		preq2 4700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
48	47	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	48	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	49	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	46, 50	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
52	51	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
53	43, 52	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
54	53	imp 406	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   NeighbVtx cnbgr 29265   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-hash 14302  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5  48103