Theorem pgnbgreunbgrlem5lem3 49356

Description: Lemma 3 for pgnbgreunbgrlem5 49357. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem3	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13017	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 49325	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11307	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		ovex 7457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 8013	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 0
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 49297	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 0 ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		1ex 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
16		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
17	15, 16	opth 5445	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)))
18		ax-1ne0 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → 1 ≠ 0)
20	19	necon2bi 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5445	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 8014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 1) mod 5)
26	25	eqeq2i 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5))
27	9, 11	pgnioedg5 49346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
29		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
30	29	preq1d 4696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
31	30	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
32	31	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
33	28, 32	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	26, 33	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	24, 34	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	35	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	15, 16	opth 5445	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)))
38	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
39	37, 38	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
41	23, 36, 40	3jaod 1456	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
42	14, 41	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
43	42	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44		preq1 4690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
45	44	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
46	45	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
47		preq2 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
48	47	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	48	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	46, 50	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
52	51	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
53	43, 52	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
54	53	imp 412	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1^st c1st 8003  2^nd c2nd 8004  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  3c3 12405  5c5 12407  ℤ_≥cuz 12972  ..^cfzo 13795  ⌈cceil 13938   mod cmo 14016  Vtxcvtx 29583  Edgcedg 29634   NeighbVtx cnbgr 29922   gPetersenGr cgpg 49274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-ceil 13940  df-mod 14017  df-hash 14482  df-dvds 16432  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-edgf 29576  df-vtx 29585  df-iedg 29586  df-edg 29635  df-umgr 29670  df-usgr 29741  df-gpg 49275

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem5  49357