Theorem pgnioedg3 48356

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg3	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12796	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48337	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 + 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7941	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48310	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7942	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 + 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5))
27		5nn 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm1nep2 47614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5))
33	30, 32	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5))
34		eqneqall 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5) → (((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	33, 34	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	26, 35	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	24, 36	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	37	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
40	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
41	39, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
43	23, 38, 42	3jaod 1431	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	14, 43	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	44	pm2.01d 190	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {cpr 4582  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  5c5 12203  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711   mod cmo 13789  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120   gPetersenGr cgpg 48286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-ceil 13713  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062  df-vtx 29071  df-iedg 29072  df-edg 29121  df-umgr 29156  df-usgr 29224  df-gpg 48287

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem2  48367