Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1 48480

Description: Lemma 1 for pgnbgreunbgrlem5 48483. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem1	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12808	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48451	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
5		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7951	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48424	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		vex 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	opth 5432	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)))
17	4, 5	op2nd 7952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) = 𝑦
18	17	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) = (𝑦 + 2)
19	18	oveq1i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5)
20	19	eqeq2i 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5))
21	9, 11	pgnioedg2 48469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23		opeq2 4832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
24	23	preq1d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
25	24	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	25	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	22, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
28	20, 27	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
29	16, 28	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
30	29	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
31	4, 15	opth 5432	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)))
32		ax-1ne0 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
33		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	32, 33	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
36	31, 35	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	4, 15	opth 5432	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)))
39	17	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) = (𝑦 − 2)
40	39	oveq1i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)
41	40	eqeq2i 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
42	9, 11	pgnioedg1 48468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
44		opeq2 4832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
45	44	preq1d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
46	45	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
47	46	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
48	43, 47	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	41, 48	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	38, 49	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	50	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
52	30, 37, 51	3jaod 1432	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
53	14, 52	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
54	53	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
55		preq1 4692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57	56	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
58		preq2 4693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
59	58	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
60	59	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
61	60	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
62	57, 61	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
64	54, 63	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
65	64	imp 406	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1^st c1st 7941  2^nd c2nd 7942  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582  ⌈cceil 13723   mod cmo 13801  Vtxcvtx 29081  Edgcedg 29132   NeighbVtx cnbgr 29417   gPetersenGr cgpg 48400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-ceil 13725  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-edgf 29074  df-vtx 29083  df-iedg 29084  df-edg 29133  df-umgr 29168  df-usgr 29236  df-gpg 48401

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5  48483