Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1 49491

Description: Lemma 1 for pgnbgreunbgrlem5 49494. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem1	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13050	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 49462	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11342	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
5		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 8043	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 49435	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	opth 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)))
17	4, 5	op2nd 8044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) = 𝑦
18	17	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) = (𝑦 + 2)
19	18	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5)
20	19	eqeq2i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5))
21	9, 11	pgnioedg2 49480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23		opeq2 4846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
24	23	preq1d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
25	24	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	25	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	22, 26	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
28	20, 27	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
29	16, 28	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
30	29	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
31	4, 15	opth 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)))
32		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
33		eqneqall 2970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	32, 33	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
36	31, 35	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	4, 15	opth 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)))
39	17	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) = (𝑦 − 2)
40	39	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)
41	40	eqeq2i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
42	9, 11	pgnioedg1 49479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
44		opeq2 4846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
45	44	preq1d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
46	45	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
47	46	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
48	43, 47	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	41, 48	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	38, 49	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	50	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
52	30, 37, 51	3jaod 1457	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
53	14, 52	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
54	53	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
55		preq1 4696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57	56	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
58		preq2 4697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
59	58	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
60	59	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
61	60	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
62	57, 61	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
64	54, 63	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
65	64	imp 412	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {cpr 4590  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  5c5 12440  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828  ⌈cceil 13971   mod cmo 14049  Vtxcvtx 29631  Edgcedg 29682   NeighbVtx cnbgr 29970   gPetersenGr cgpg 49411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-ceil 13973  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-vtx 29633  df-iedg 29634  df-edg 29683  df-umgr 29718  df-usgr 29789  df-gpg 49412

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem5  49494