Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1 48623

Description: Lemma 1 for pgnbgreunbgrlem5 48626. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem1	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12828	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48594	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 472	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
5		vex 3437	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7941	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1
7		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48567	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		vex 3437	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	opth 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)))
17	4, 5	op2nd 7942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) = 𝑦
18	17	oveq1i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) = (𝑦 + 2)
19	18	oveq1i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5)
20	19	eqeq2i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5))
21	9, 11	pgnioedg2 48612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	21	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23		opeq2 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
24	23	preq1d 4673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
25	24	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	25	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	22, 26	imbitrrid 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
28	20, 27	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
29	16, 28	simplbiim 510	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
30	29	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
31	4, 15	opth 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)))
32		ax-1ne0 11103	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
33		eqneqall 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	32, 33	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
35	34	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
36	31, 35	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	4, 15	opth 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)))
39	17	oveq1i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) = (𝑦 − 2)
40	39	oveq1i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)
41	40	eqeq2i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
42	9, 11	pgnioedg1 48611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
44		opeq2 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
45	44	preq1d 4673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
46	45	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
47	46	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
48	43, 47	imbitrrid 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	41, 48	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	38, 49	simplbiim 510	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	50	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
52	30, 37, 51	3jaod 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
53	14, 52	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
54	53	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
55		preq1 4667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57	56	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
58		preq2 4668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩})
59	58	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
60	59	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
61	60	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
62	57, 61	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
63	62	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
64	54, 63	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
65	64	imp 408	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ w3o 1092   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  {cpr 4559  ⟨cop 4563  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   − cmin 11373   / cdiv 11803  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  ℤ_≥cuz 12783  ..^cfzo 13603  ⌈cceil 13745   mod cmo 13823  Vtxcvtx 29085  Edgcedg 29136   NeighbVtx cnbgr 29421   gPetersenGr cgpg 48543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29078  df-vtx 29087  df-iedg 29088  df-edg 29137  df-umgr 29172  df-usgr 29240  df-gpg 48544

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5  48626