Theorem pgnioedg1 48761

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg1	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12906	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48744	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11202	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7993	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48717	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1491	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11199	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5459	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5459	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7994	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
27		5nn 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm2nep1 47997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
33	30, 32	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
34	33	necomd 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
35		eqneqall 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	34, 35	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	26, 36	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	24, 37	simplbiim 513	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	38	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
40	15, 16	opth 5459	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
41	20	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	40, 41	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	23, 39, 43	3jaod 1454	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	14, 44	syld 48	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
46	45	pm2.01d 192	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440   / cdiv 11870  2c2 12294  3c3 12295  5c5 12297  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13681  ⌈cceil 13823   mod cmo 13901  Vtxcvtx 29286  Edgcedg 29337   gPetersenGr cgpg 48693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-edgf 29279  df-vtx 29288  df-iedg 29289  df-edg 29338  df-umgr 29373  df-usgr 29441  df-gpg 48694

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem1  48773