Theorem pgnioedg1 48607

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg1	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12825	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48590	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7940	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48563	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1473	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11130	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5417	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12244	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2945	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5417	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7941	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
27		5nn 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm2nep1 47843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
33	30, 32	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
34	33	necomd 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
35		eqneqall 2945	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	34, 35	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	26, 36	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	24, 37	simplbiim 509	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	38	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
40	15, 16	opth 5417	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
41	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	40, 41	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	23, 39, 43	3jaod 1437	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	14, 44	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
46	45	pm2.01d 191	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {cpr 4558  ⟨cop 4562  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1^st c1st 7930  2^nd c2nd 7931  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11369   / cdiv 11799  2c2 12228  3c3 12229  5c5 12231  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ..^cfzo 13600  ⌈cceil 13742   mod cmo 13820  Vtxcvtx 29084  Edgcedg 29135   gPetersenGr cgpg 48539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-ceil 13744  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16214  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-edgf 29077  df-vtx 29086  df-iedg 29087  df-edg 29136  df-umgr 29171  df-usgr 29239  df-gpg 48540

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem1  48619