Theorem pgnioedg1 48139

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg1	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12776	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48122	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11103	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7924	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48095	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11101	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5411	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12191	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5411	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7925	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
27		5nn 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm2nep1 47397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
33	30, 32	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
34	33	necomd 2983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
35		eqneqall 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	34, 35	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	26, 36	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	24, 37	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	38	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
40	15, 16	opth 5411	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
41	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	40, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	23, 39, 43	3jaod 1431	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	14, 44	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
46	45	pm2.01d 190	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {cpr 4573  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  3c3 12176  5c5 12178  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  ⌈cceil 13690   mod cmo 13768  Vtxcvtx 28969  Edgcedg 29020   gPetersenGr cgpg 48071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-ceil 13692  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-edgf 28962  df-vtx 28971  df-iedg 28972  df-edg 29021  df-umgr 29056  df-usgr 29124  df-gpg 48072

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem1  48151