Theorem pgnioedg5 48910

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg5	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12919	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48889	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7996	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48862	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1494	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11211	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5460	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2971	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5460	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7997	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 1) mod 5)
26	25	eqeq2i 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5))
27		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
28	27	modm1nep1 48141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
29	1, 28	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
30	29	necomd 3015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 1) mod 5))
31		eqneqall 2971	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5) → (((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 1) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
32	30, 31	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
33	26, 32	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	24, 33	simplbiim 514	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	34	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	15, 16	opth 5460	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
37	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
38	36, 37	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
40	23, 35, 39	3jaod 1456	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
41	14, 40	syld 48	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
42	41	pm2.01d 192	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  5c5 12309  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916  Vtxcvtx 29377  Edgcedg 29428   gPetersenGr cgpg 48838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13390  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917  df-hash 14381  df-dvds 16329  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-edgf 29370  df-vtx 29379  df-iedg 29380  df-edg 29429  df-umgr 29464  df-usgr 29535  df-gpg 48839

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem5lem3  48920