Theorem pgnbgreunbgrlem5lem2 49219

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem5 49221. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13010	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 49189	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11303	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
5		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 8009	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 49162	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	opth 5444	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)))
17	4, 5	op2nd 8010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) = 𝑦
18	17	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) = (𝑦 + 2)
19	18	oveq1i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5)
20	19	eqeq2i 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5))
21	9, 11	pgnioedg3 49208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23		opeq2 4833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
24	23	preq1d 4699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
25	24	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	25	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	22, 26	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
28	20, 27	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
29	16, 28	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
30	29	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
31	4, 15	opth 5444	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)))
32		ax-1ne0 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
33		eqneqall 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	32, 33	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
36	31, 35	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	4, 15	opth 5444	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)))
39	17	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) = (𝑦 − 2)
40	39	oveq1i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)
41	40	eqeq2i 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
42	9, 11	pgnioedg4 49209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
44		opeq2 4833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
45	44	preq1d 4699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
46	45	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
47	46	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
48	43, 47	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	41, 48	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	38, 49	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	50	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
52	30, 37, 51	3jaod 1456	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
53	14, 52	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
54	53	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
55		preq1 4693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57	56	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
58		preq2 4694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
59	58	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
60	59	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
61	60	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
62	57, 61	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
64	54, 63	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
65	64	imp 412	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  ℤ_≥cuz 12965  ..^cfzo 13788  ⌈cceil 13931   mod cmo 14009  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625   NeighbVtx cnbgr 29913   gPetersenGr cgpg 49138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-edgf 29567  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-edg 29626  df-umgr 29661  df-usgr 29732  df-gpg 49139

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem5  49221