Theorem pgnbgreunbgrlem5lem2 48367

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem5 48369. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem5lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12796	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48337	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11128	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
5		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7941	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48310	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, 𝑦⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	opth 5424	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)))
17	4, 5	op2nd 7942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) = 𝑦
18	17	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) = (𝑦 + 2)
19	18	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5)
20	19	eqeq2i 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5))
21	9, 11	pgnioedg3 48356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
24	23	preq1d 4696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
25	24	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	25	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	22, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
28	20, 27	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
29	16, 28	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
30	29	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
31	4, 15	opth 5424	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)))
32		ax-1ne0 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
33		eqneqall 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
34	32, 33	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 = 0 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
36	31, 35	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	4, 15	opth 5424	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ 𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)))
39	17	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) = (𝑦 − 2)
40	39	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)
41	40	eqeq2i 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
42	9, 11	pgnioedg4 48357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
44		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
45	44	preq1d 4696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
46	45	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
47	46	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
48	43, 47	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
49	41, 48	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
50	38, 49	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
51	50	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
52	30, 37, 51	3jaod 1431	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨1, 𝑏⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, 𝑦⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
53	14, 52	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
54	53	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
55		preq1 4690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57	56	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
58		preq2 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩})
59	58	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
60	59	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
61	60	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
62	57, 61	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
64	54, 63	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
65	64	imp 406	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {cpr 4582  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  5c5 12203  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711   mod cmo 13789  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120   NeighbVtx cnbgr 29405   gPetersenGr cgpg 48286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-ceil 13713  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062  df-vtx 29071  df-iedg 29072  df-edg 29121  df-umgr 29156  df-usgr 29224  df-gpg 48287

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5  48369