Theorem gpg5ngric 48619

Description: The two generalized Petersen graphs G(5,K) of order 10, which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1), are not isomorphic. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5ngric	⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Proof of Theorem gpg5ngric

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12824	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		1elfzo1ceilhalf1 47804	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
4	1, 3	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
5		gpgusgra 48548	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
6		usgruspgr 29267	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph
8		pglem 48582	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	1, 8	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
10		gpgusgra 48548	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph)
11		usgruspgr 29267	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph
13	7, 12	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
14		gpgprismgr4cyclex 48598	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
16		pg4cyclnex 48618	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
17	15, 16	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
18		cycldlenngric 48419	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph) → ((∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)) → ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
19	13, 17, 18	mp2 9	1 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ⌈cceil 13741  ♯chash 14283  USPGraphcuspgr 29235  USGraphcusgr 29236  Cyclesccycls 29871   ≃_𝑔𝑟 cgric 48367   gPetersenGr cgpg 48531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803  df-s5 14804  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-edgf 29076  df-vtx 29085  df-iedg 29086  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-umgr 29170  df-uspgr 29237  df-usgr 29238  df-nbgr 29420  df-wlks 29686  df-trls 29777  df-pths 29800  df-cycls 29873  df-grim 48369  df-gric 48372  df-gpg 48532

This theorem is referenced by:  lgricngricex  48620