Theorem gpg5ngric 48688

Description: The two generalized Petersen graphs G(5,K) of order 10, which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1), are not isomorphic. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5ngric	⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Proof of Theorem gpg5ngric

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12870	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		1elfzo1ceilhalf1 47873	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
4	1, 3	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
5		gpgusgra 48617	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
6		usgruspgr 29316	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph
8		pglem 48651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	1, 8	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
10		gpgusgra 48617	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph)
11		usgruspgr 29316	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph
13	7, 12	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
14		gpgprismgr4cyclex 48667	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
16		pg4cyclnex 48687	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
17	15, 16	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
18		cycldlenngric 48488	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph) → ((∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)) → ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
19	13, 17, 18	mp2 9	1 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1550  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060   / cdiv 11830  2c2 12258  3c3 12259  4c4 12260  5c5 12261  ℤ_≥cuz 12825  ..^cfzo 13645  ⌈cceil 13787  ♯chash 14329  USPGraphcuspgr 29284  USGraphcusgr 29285  Cyclesccycls 29920   ≃_𝑔𝑟 cgric 48436   gPetersenGr cgpg 48600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-ifp 1072  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-ico 13341  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-ceil 13789  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-word 14513  df-concat 14570  df-s1 14596  df-s2 14847  df-s3 14848  df-s4 14849  df-s5 14850  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-edgf 29125  df-vtx 29134  df-iedg 29135  df-edg 29184  df-uhgr 29194  df-upgr 29218  df-umgr 29219  df-uspgr 29286  df-usgr 29287  df-nbgr 29469  df-wlks 29735  df-trls 29826  df-pths 29849  df-cycls 29922  df-grim 48438  df-gric 48441  df-gpg 48601

This theorem is referenced by:  lgricngricex  48689