Theorem gpg5ngric 48711

Description: The two generalized Petersen graphs G(5,K) of order 10, which are the Petersen graph G(5,2) and the 5-prism G(5,1), are not isomorphic. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5ngric	⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Proof of Theorem gpg5ngric

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12878	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		1elfzo1ceilhalf1 47896	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
4	1, 3	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
5		gpgusgra 48640	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
6		usgruspgr 29338	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph
8		pglem 48674	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	1, 8	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
10		gpgusgra 48640	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph)
11		usgruspgr 29338	. . . 4 ⊢ ((5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph → (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph
13	7, 12	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph)
14		gpgprismgr4cyclex 48690	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
16		pg4cyclnex 48710	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)
17	15, 16	pm3.2i 474	. 2 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
18		cycldlenngric 48511	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ∈ USPGraph ∧ (5 gPetersenGr 2) ∈ USPGraph) → ((∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ∧ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)) → ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
19	13, 17, 18	mp2 9	1 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   / cdiv 11838  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  ℤ_≥cuz 12833  ..^cfzo 13653  ⌈cceil 13795  ♯chash 14337  USPGraphcuspgr 29306  USGraphcusgr 29307  Cyclesccycls 29942   ≃_𝑔𝑟 cgric 48459   gPetersenGr cgpg 48623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-ico 13349  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-ceil 13797  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-word 14521  df-concat 14578  df-s1 14604  df-s2 14855  df-s3 14856  df-s4 14857  df-s5 14858  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-edgf 29147  df-vtx 29156  df-iedg 29157  df-edg 29206  df-uhgr 29216  df-upgr 29240  df-umgr 29241  df-uspgr 29308  df-usgr 29309  df-nbgr 29491  df-wlks 29757  df-trls 29848  df-pths 29871  df-cycls 29944  df-grim 48461  df-gric 48464  df-gpg 48624

This theorem is referenced by:  lgricngricex  48712