Theorem pgnbgreunbgrlem4 48738

Description: Lemma 4 for pgnbgreunbgr 48744. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem4	⊢ ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	1, 2	op2ndd 7981	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
4		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) + 2) = (𝑦 + 2))
5	4	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5))
6	5	opeq2d 4838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
7	6	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
8		opeq2 4832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
9	8	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩))
10		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) − 2) = (𝑦 − 2))
11	10	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
12	11	opeq2d 4838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
13	12	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))
14	7, 9, 13	3orbi123d 1456	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ↔ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
15	6	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
16	8	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩))
17	12	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))
18	15, 16, 17	3orbi123d 1456	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ↔ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
19	14, 18	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) ↔ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
21		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
22	20, 21	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩
24		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
26	22, 25	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
27	26	impd 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
28	27	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
29		prcom 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩}
30	29	eleq1i 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
31		5eluz3 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
32		pglem 48710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
33		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
34		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
35		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
36		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
37	33, 34, 35, 36	gpgedgiov 48684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑦 ∈ (0..^5) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
38	31, 32, 37	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
39	38	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
40	30, 39	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
41		opeq2 4832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
42	40, 41	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
43	42	adantld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
44		preq1 4692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
45	44	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
46		preq2 4693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩})
47	46	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
48	45, 47	bi2anan9r 648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸)))
49	48	imbi1d 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
50	43, 49	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
51	50	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
52	51	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
53		prcom 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩}
54	53	eleq1i 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
55		prcom 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩}
56	55	eleq1i 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
57	54, 56	anbi12ci 638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
58		5nn 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℕ
59	58	nnzi 12595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℤ
60		uzid 12854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
62		4t2e8 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 2) = 8
63	62	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((4 · 2) mod 5) = (8 mod 5)
64		8mod5e3 47957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 mod 5) = 3
65	63, 64	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 · 2) mod 5) = 3
66		3ne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ≠ 0
67	65, 66	eqnetri 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0
68	32, 67	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0)
69	33, 34, 35, 36	gpgedg2iv 48686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
70	61, 68, 69	mp3an13 1473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
71	57, 70	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
72	41	eqcoms 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
73	71, 72	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
74		preq2 4693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
75	74	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
76	45, 75	bi2anan9r 648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
77	76	imbi1d 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
78	73, 77	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
79	78	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
80	79	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
81	28, 52, 80	3jaoi 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
82	39, 41	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
83	82	adantrd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
84		preq1 4692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
85	84	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
86		preq2 4693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩})
87	86	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
88	85, 87	bi2anan9r 648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
89	88	imbi1d 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
90	83, 89	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
91	90	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
92	91	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
93		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩)
94		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩)
95	93, 94	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩))
96		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, 𝑦⟩
97		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, 𝑦⟩ → (⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
99	95, 98	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
100	99	impd 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
101	100	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
102	82	adantrd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
103	84	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
104	103	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
105	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
106	105	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
107	104, 106	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
108	107	imbi1d 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
109	102, 108	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
110	109	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
111	110	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
112	92, 101, 111	3jaoi 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
113	64, 66	eqnetri 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 mod 5) ≠ 0
114	63, 113	eqnetri 3027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0
115		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
116		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)))
117	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘5) → 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
118	117	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) → (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0))
119	118	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0))
120	115, 116, 119, 69	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
121	61, 114, 120	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
122	121, 72	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
123	122	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
125		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
126		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
127	125, 126	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
128	127	ancoms 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
129	128	anbi1d 640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ↔ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)))))
130		preq1 4692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
131	130	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
132	131, 87	bi2anan9r 648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
133	132	imbi1d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
134	124, 129, 133	3imtr4d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
135	134	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
136	37	ancom2s 660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
137		equcom 2038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑦)
138	136, 137	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
139	30, 138	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
140	31, 32, 139	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
141	140, 72	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
142	141	adantld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
143	142	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
144	130	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
145	144	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
146	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
147	145, 146	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸)))
148	147	imbi1d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
149	143, 148	imbitrrid 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
150	149	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
151		eqeq2 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = 𝐿 → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = 𝐿))
152	151	eqcoms 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = 𝐿))
153		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝐿 → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
154	153	impd 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 𝐿 → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
155	152, 154	biimtrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
156	135, 150, 155	3jaoi 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
157	81, 112, 156	3jaod 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
158	157	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
159	19, 158	biimtrdi 255	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
160	3, 159	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
161		eqeq1 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩ ↔ ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
162	161	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
163	162	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)) ↔ ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
164	160, 163	sylibrd 261	. . 3 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))))
165	164	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))))
166	165	expdcom 418	1 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ w3o 1097   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  2^nd c2nd 7969  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414   / cdiv 11844  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  8c8 12278  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ..^cfzo 13659  ⌈cceil 13801   mod cmo 13879  Vtxcvtx 29194  Edgcedg 29245   NeighbVtx cnbgr 29530   gPetersenGr cgpg 48659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-ceil 13803  df-mod 13880  df-hash 14344  df-dvds 16287  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-edgf 29187  df-vtx 29196  df-iedg 29197  df-edg 29246  df-umgr 29281  df-usgr 29349  df-gpg 48660

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem6  48743