Theorem pgnbgreunbgrlem4 49490

Description: Lemma 4 for pgnbgreunbgr 49496. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem4	⊢ ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏   𝑦,𝐸   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11342	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	1, 2	op2ndd 8046	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
4		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) + 2) = (𝑦 + 2))
5	4	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5))
6	5	opeq2d 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
7	6	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
8		opeq2 4846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
9	8	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩))
10		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) − 2) = (𝑦 − 2))
11	10	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
12	11	opeq2d 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
13	12	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))
14	7, 9, 13	3orbi123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ↔ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
15	6	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
16	8	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩))
17	12	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))
18	15, 16, 17	3orbi123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ↔ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
19	14, 18	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) ↔ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩))))
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
21		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
22	20, 21	neeq12d 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩
24		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
26	22, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
27	26	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
28	27	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
29		prcom 4695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩}
30	29	eleq1i 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
31		5eluz3 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
32		pglem 49462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
35		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
36		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
37	33, 34, 35, 36	gpgedgiov 49436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑦 ∈ (0..^5) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
38	31, 32, 37	mpanl12 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
39	38	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
40	30, 39	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
41		opeq2 4846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
42	40, 41	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
43	42	adantld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
44		preq1 4696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
45	44	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
46		preq2 4697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩})
47	46	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
48	45, 47	bi2anan9r 651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸)))
49	48	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
50	43, 49	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
51	50	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
52	51	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
53		prcom 4695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩}
54	53	eleq1i 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
55		prcom 4695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩}
56	55	eleq1i 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
57	54, 56	anbi12ci 641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
58		5nn 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℕ
59	58	nnzi 12760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℤ
60		uzid 13020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
62		4t2e8 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 2) = 8
63	62	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((4 · 2) mod 5) = (8 mod 5)
64		8mod5e3 48709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 mod 5) = 3
65	63, 64	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 · 2) mod 5) = 3
66		3ne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ≠ 0
67	65, 66	eqnetri 3029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0
68	32, 67	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0)
69	33, 34, 35, 36	gpgedg2iv 49438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
70	61, 68, 69	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
71	57, 70	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
72	41	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
73	71, 72	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
74		preq2 4697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
75	74	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
76	45, 75	bi2anan9r 651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
77	76	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
78	73, 77	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
79	78	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
80	79	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
81	28, 52, 80	3jaoi 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
82	39, 41	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
83	82	adantrd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
84		preq1 4696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
85	84	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
86		preq2 4697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩})
87	86	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
88	85, 87	bi2anan9r 651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
89	88	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
90	83, 89	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
91	90	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
92	91	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
93		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩)
94		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩)
95	93, 94	neeq12d 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩))
96		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, 𝑦⟩
97		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, 𝑦⟩ → (⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨0, 𝑦⟩ ≠ ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
99	95, 98	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
100	99	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
101	100	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
102	82	adantrd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
103	84	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
104	103	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
105	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
106	105	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
107	104, 106	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
108	107	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
109	102, 108	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
110	109	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
111	110	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
112	92, 101, 111	3jaoi 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
113	64, 66	eqnetri 3029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 mod 5) ≠ 0
114	63, 113	eqnetri 3029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0
115		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
116		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)))
117	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘5) → 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
118	117	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) → (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0))
119	118	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0))
120	115, 116, 119, 69	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ ((4 · 2) mod 5) ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
121	61, 114, 120	mpanl12 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑏 = 𝑦))
122	121, 72	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
123	122	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
125		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)
126		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)
127	125, 126	neeq12d 3020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
128	127	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩))
129	128	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ↔ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)))))
130		preq1 4696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
131	130	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
132	131, 87	bi2anan9r 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
133	132	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
134	124, 129, 133	3imtr4d 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
135	134	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
136	37	ancom2s 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑦 = 𝑏))
137		equcom 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑦)
138	136, 137	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
139	30, 138	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
140	31, 32, 139	mpanl12 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ 𝑏 = 𝑦))
141	140, 72	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
142	141	adantld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
143	142	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
144	130	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} = {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
145	144	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
146	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ({⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
147	145, 146	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸)))
148	147	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
149	143, 148	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∧ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
150	149	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
151		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = 𝐿 → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = 𝐿))
152	151	eqcoms 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ↔ 𝐾 = 𝐿))
153		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝐿 → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
154	153	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 𝐿 → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
155	152, 154	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
156	135, 150, 155	3jaoi 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
157	81, 112, 156	3jaod 1457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
158	157	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
159	19, 158	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
160	3, 159	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
161		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩ ↔ ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))
162	161	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩) ↔ (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)))
163	162	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)) ↔ ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩))))
164	160, 163	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))))
165	164	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → (((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) ∧ (𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩)) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))))
166	165	expdcom 420	1 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐿 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 2) mod 5)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ ∨ 𝐾 = ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 2) mod 5)⟩) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩) → ((𝐾 ≠ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {cpr 4590  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  2^nd c2nd 8034  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  8c8 12443  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828  ⌈cceil 13971   mod cmo 14049  Vtxcvtx 29631  Edgcedg 29682   NeighbVtx cnbgr 29970   gPetersenGr cgpg 49411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-ceil 13973  df-mod 14050  df-hash 14516  df-dvds 16467  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-vtx 29633  df-iedg 29634  df-edg 29683  df-umgr 29718  df-usgr 29789  df-gpg 49412

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem6  49495