Theorem pgnbgreunbgr 48105

Description: In a Petersen graph, two different neighbors of a vertex have exactly one common neighbor, which is the vertex itself. (Contributed by AV, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pgnbgreunbgr

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝐾, 𝑥} = {𝐾, 𝑋})
2		preq1 4699	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥, 𝐿} = {𝑋, 𝐿})
3	1, 2	preq12d 4707	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} = {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}})
4	3	sseq1d 3980	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸))
5		eqeq1 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑦))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
7	6	ralbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
8	4, 7	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))))
9		pgnbgreunbgr.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10	9	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 ↔ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
11	10	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
13		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
14		pgjsgr 48073	. . . . . . . 8 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15	13, 14	eqeltri 2825	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
16		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	16	nbusgreledg 29286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸)
19	12, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸)
20		usgrumgr 29114	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
22	19, 21	jctil 519	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸))
23		pgnbgreunbgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24	23, 16	umgrpredgv 29073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	22, 24, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	9	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 ↔ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
28	10, 27	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
29	16	nbusgreledg 29286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐿, 𝑋} ∈ 𝐸))
30		prcom 4698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐿, 𝑋} = {𝑋, 𝐿}
31	30	eleq1i 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐿, 𝑋} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸)
32	29, 31	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
33	17, 32	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸)))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
35	28, 34	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
36	35	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
37		prssi 4787	. . . . 5 ⊢ (({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸) → {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
39		prex 5394	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾, 𝑦} ∈ V
40		prex 5394	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦, 𝐿} ∈ V
41	39, 40	prss 4786	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
42		5eluz3 12848	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
43		pglem 48072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
44		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
45		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
46	44, 45, 13, 23	gpgvtxel 48028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩))
47	42, 43, 46	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
48	47	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
50		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 0 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨0, 𝑏⟩)
51	50	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩))
53	13, 23, 16, 9	pgnbgreunbgrlem3 48098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
54	53	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
55		preq2 4700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → {𝐾, 𝑦} = {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57		preq1 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → {𝑦, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿})
58	57	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ({𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
59	56, 58	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)))
60		eqeq2 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
61	59, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ((({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦) ↔ (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩)))
62	54, 61	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
64	52, 63	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
66	13, 23, 16, 9	pgnbgreunbgrlem6 48104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
67	66	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
68		preq2 4700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → {𝐾, 𝑦} = {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩})
69	68	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
70		preq1 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → {𝑦, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿})
71	70	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ({𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
72	69, 71	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)))
73		eqeq2 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
74	72, 73	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ((({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦) ↔ (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))
75	67, 74	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
76		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 1 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
77	76	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩))
78	77	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)) ↔ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
79	75, 78	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
80	65, 79	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1) → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
81	80	expd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1) → (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (0..^5) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))))
82		elpri 4615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
83	81, 82	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ {0, 1} → (𝑏 ∈ (0..^5) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))))
84	83	impd 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ {0, 1} ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
85	84	rexlimdvv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
86	49, 85	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))
87	41, 86	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))
88	87	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))
89	38, 88	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ({{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
90	8, 26, 89	rspcedvdw 3594	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)))
91		preq2 4700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝐾, 𝑥} = {𝐾, 𝑦})
92		preq1 4699	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥, 𝐿} = {𝑦, 𝐿})
93	91, 92	preq12d 4707	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} = {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}})
94	93	sseq1d 3980	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸))
95	94	reu8 3706	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)))
96	90, 95	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3354   ⊆ wss 3916  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  1c1 11075   / cdiv 11841  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980  UMGraphcumgr 29014  USGraphcusgr 29082   NeighbVtx cnbgr 29265   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-nbgr 29266  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  pgn4cyclex  48106