Theorem pgnbgreunbgr 48088

Description: In a Petersen graph, two different neighbors of a vertex have exactly one common neighbor, which is the vertex itself. (Contributed by AV, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pgnbgreunbgr

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4694	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝐾, 𝑥} = {𝐾, 𝑋})
2		preq1 4693	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥, 𝐿} = {𝑋, 𝐿})
3	1, 2	preq12d 4701	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} = {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}})
4	3	sseq1d 3975	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸))
5		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑦))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
7	6	ralbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
8	4, 7	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))))
9		pgnbgreunbgr.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10	9	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 ↔ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
11	10	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
13		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
14		pgjsgr 48056	. . . . . . . 8 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
15	13, 14	eqeltri 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
16		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	16	nbusgreledg 29256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸)
19	12, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸)
20		usgrumgr 29084	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
22	19, 21	jctil 519	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸))
23		pgnbgreunbgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24	23, 16	umgrpredgv 29043	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	22, 24, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	9	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑁 ↔ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
28	10, 27	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
29	16	nbusgreledg 29256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝐿, 𝑋} ∈ 𝐸))
30		prcom 4692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐿, 𝑋} = {𝑋, 𝐿}
31	30	eleq1i 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐿, 𝑋} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸)
32	29, 31	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
33	17, 32	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸)))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
35	28, 34	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
36	35	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸))
37		prssi 4781	. . . . 5 ⊢ (({𝐾, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝐿} ∈ 𝐸) → {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → {{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
39		prex 5387	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾, 𝑦} ∈ V
40		prex 5387	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦, 𝐿} ∈ V
41	39, 40	prss 4780	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸)
42		5eluz3 12818	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
43		pglem 48055	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
44		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
45		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
46	44, 45, 13, 23	gpgvtxel 48011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩))
47	42, 43, 46	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
48	47	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
50		opeq1 4833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 0 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨0, 𝑏⟩)
51	50	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩))
53	13, 23, 16, 9	pgnbgreunbgrlem3 48081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
54	53	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
55		preq2 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → {𝐾, 𝑦} = {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩})
56	55	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
57		preq1 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → {𝑦, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿})
58	57	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ({𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
59	56, 58	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)))
60		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩))
61	59, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → ((({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦) ↔ (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨0, 𝑏⟩)))
62	54, 61	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨0, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
64	52, 63	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5))) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
66	13, 23, 16, 9	pgnbgreunbgrlem6 48087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
67	66	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
68		preq2 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → {𝐾, 𝑦} = {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩})
69	68	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
70		preq1 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → {𝑦, 𝐿} = {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿})
71	70	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ({𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
72	69, 71	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)))
73		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩))
74	72, 73	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → ((({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦) ↔ (({𝐾, ⟨1, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = ⟨1, 𝑏⟩)))
75	67, 74	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
76		opeq1 4833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 1 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
77	76	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ↔ 𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩))
78	77	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)) ↔ (𝑦 = ⟨1, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
79	75, 78	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
80	65, 79	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1) → ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
81	80	expd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1) → (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (0..^5) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))))
82		elpri 4609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
83	81, 82	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ {0, 1} → (𝑏 ∈ (0..^5) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))))
84	83	impd 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ {0, 1} ∧ 𝑏 ∈ (0..^5)) → (𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))))
85	84	rexlimdvv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∃𝑎 ∈ {0, 1}∃𝑏 ∈ (0..^5)𝑦 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦)))
86	49, 85	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (({𝐾, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐿} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑦))
87	41, 86	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))
88	87	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦))
89	38, 88	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ({{𝐾, 𝑋}, {𝑋, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑋 = 𝑦)))
90	8, 26, 89	rspcedvdw 3588	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)))
91		preq2 4694	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝐾, 𝑥} = {𝐾, 𝑦})
92		preq1 4693	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥, 𝐿} = {𝑦, 𝐿})
93	91, 92	preq12d 4701	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} = {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}})
94	93	sseq1d 3975	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ {{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸))
95	94	reu8 3701	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ({{𝐾, 𝑦}, {𝑦, 𝐿}} ⊆ 𝐸 → 𝑥 = 𝑦)))
96	90, 95	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ∃!𝑥 ∈ 𝑉 {{𝐾, 𝑥}, {𝑥, 𝐿}} ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349   ⊆ wss 3911  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   / cdiv 11811  2c2 12217  3c3 12218  5c5 12220  ℤ_≥cuz 12769  ..^cfzo 13591  ⌈cceil 13729  Vtxcvtx 28899  Edgcedg 28950  UMGraphcumgr 28984  USGraphcusgr 29052   NeighbVtx cnbgr 29235   gPetersenGr cgpg 48004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-edgf 28892  df-vtx 28901  df-iedg 28902  df-edg 28951  df-upgr 28985  df-umgr 28986  df-usgr 29054  df-nbgr 29236  df-gpg 48005

This theorem is referenced by:  pgn4cyclex  48089