Theorem pgnioedg4 48091

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg4	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12848	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48072	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7978	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48045	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11174	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5438	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5438	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7979	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
27		5nn 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm1nem2 47360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
33	30, 32	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
34		eqneqall 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	33, 34	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	26, 35	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	24, 36	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	37	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	15, 16	opth 5438	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
40	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
41	39, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
43	23, 38, 42	3jaod 1431	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	14, 43	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	44	pm2.01d 190	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem2  48101