Theorem pgnioedg4 48587

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg4	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12833	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48567	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7950	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48540	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5429	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12252	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5429	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7951	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 − 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5))
27		5nn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modm1nem2 47823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
33	30, 32	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5))
34		eqneqall 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑦 − 1) mod 5) ≠ ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
35	33, 34	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	26, 35	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	24, 36	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	37	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	15, 16	opth 5429	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
40	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 − 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
41	39, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
43	23, 38, 42	3jaod 1432	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	14, 43	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	44	pm2.01d 190	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  5c5 12239  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ⌈cceil 13750   mod cmo 13828  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116   gPetersenGr cgpg 48516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-ceil 13752  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-edgf 29058  df-vtx 29067  df-iedg 29068  df-edg 29117  df-umgr 29152  df-usgr 29220  df-gpg 48517

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem2  48597