Theorem abslogle 26660

Description: Bound on the magnitude of the complex logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
abslogle	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))

Proof of Theorem abslogle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26610	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	abscld 15475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3		absrpcl 15327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4		relogcl 26617	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘(abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
8	1	imcld 15234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
11	7, 10	readdcld 11290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
12		pire 26500	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14	7, 13	readdcld 11290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π) ∈ ℝ)
15	1	recld 15233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		ax-icn 11214	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
19	18, 9	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
20	16, 19	abstrid 15495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))) + (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
21	1	replimd 15236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) = ((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
22	21	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) = (abs‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
23		relog 26639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
24	23	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) = (ℜ‘(log‘𝐴)))
25	24	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘(abs‘𝐴))) = (abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
26	18, 9	absmuld 15493	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
27		absi 15325	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘i) = 1
28	27	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
29	10	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
31	28, 30	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
32	26, 31	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
33	25, 32	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))) + (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	20, 22, 33	3brtr4d 5175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
35		abslogimle 26615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
36	10, 13, 7, 35	leadd2dd 11878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))
37	2, 11, 14, 34, 36	letrd 11418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ℝ⁺crp 13034  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273  πcpi 16102  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  27076  lgambdd  27080