Theorem abslogle 26552

Description: Bound on the magnitude of the complex logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
abslogle	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))

Proof of Theorem abslogle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26502	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	abscld 15343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3		absrpcl 15192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4		relogcl 26509	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘(abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
8	1	imcld 15099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
11	7, 10	readdcld 11138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
12		pire 26391	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14	7, 13	readdcld 11138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π) ∈ ℝ)
15	1	recld 15098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		ax-icn 11062	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
19	18, 9	mulcld 11129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
20	16, 19	abstrid 15363	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))) + (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
21	1	replimd 15101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) = ((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
22	21	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) = (abs‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
23		relog 26531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
24	23	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(abs‘𝐴)) = (ℜ‘(log‘𝐴)))
25	24	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘(abs‘𝐴))) = (abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
26	18, 9	absmuld 15361	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
27		absi 15190	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘i) = 1
28	27	oveq1i 7356	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
29	10	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
31	28, 30	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
32	26, 31	eqtr2d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
33	25, 32	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℜ‘(log‘𝐴))) + (abs‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	20, 22, 33	3brtr4d 5123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
35		abslogimle 26507	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
36	10, 13, 7, 35	leadd2dd 11729	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))
37	2, 11, 14, 34, 36	letrd 11267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(log‘𝐴)) ≤ ((abs‘(log‘(abs‘𝐴))) + π))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004  ici 11005   + caddc 11006   · cmul 11008   ≤ cle 11144  ℝ⁺crp 12887  ℜcre 15001  ℑcim 15002  abscabs 15138  πcpi 15970  logclog 26488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-log 26490

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26968  lgambdd  26972