Theorem absabv 20683

Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
absabv	⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2		cnfldbas 20629	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4		cnfldadd 20630	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6		cnfldmul 20631	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8		cnfld0 20650	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10		cnring 20648	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12		absf 15077	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14		abs0 15025	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (abs‘0) = 0)
16		absgt0 15064	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18	17	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19		absmul 15034	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
20	19	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21	20	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22		abstri 15070	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
23	22	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24	23	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
25	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24	isabvd 20108	. 2 ⊢ (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
26	25	mptru 1544	1 ⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938   class class class wbr 5077  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  ℝcr 10898  0cc0 10899   + caddc 10902   · cmul 10904   < clt 11037   ≤ cle 11038  abscabs 14973  Basecbs 16940  +_gcplusg 16990  ._rcmulr 16991  0_gc0g 17178  Ringcrg 19811  AbsValcabv 20104  ℂ_fldccnfld 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-rp 12759  df-ico 13113  df-fz 13268  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-cmn 19416  df-mgp 19749  df-ring 19813  df-cring 19814  df-abv 20105  df-cnfld 20626

This theorem is referenced by:  cnnrg  23972  cnindmet  24354  qabsabv  26805