MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absabv 20735
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . . 3 (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2 cnfldbas 20681 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
32a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4 cnfldadd 20682 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
54a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6 cnfldmul 20683 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
76a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8 cnfld0 20702 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
98a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10 cnring 20700 . . . 4 fld ∈ Ring
1110a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12 absf 15125 . . . 4 abs:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14 abs0 15073 . . . 4 (abs‘0) = 0
1514a1i 11 . . 3 (⊤ → (abs‘0) = 0)
16 absgt0 15112 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
1716biimpa 477 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18173adant1 1129 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19 absmul 15082 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
2019ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21203adant1 1129 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22 abstri 15118 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
2322ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24233adant1 1129 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 20160 . 2 (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
2625mptru 1547 1 abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5086  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950   + caddc 10953   · cmul 10955   < clt 11088  cle 11089  abscabs 15021  Basecbs 16986  +gcplusg 17036  .rcmulr 17037  0gc0g 17224  Ringcrg 19855  AbsValcabv 20156  fldccnfld 20677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-rp 12810  df-ico 13164  df-fz 13319  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-cmn 19460  df-mgp 19793  df-ring 19857  df-cring 19858  df-abv 20157  df-cnfld 20678
This theorem is referenced by:  cnnrg  24024  cnindmet  24406  qabsabv  26857
  Copyright terms: Public domain W3C validator