Theorem absabv 21404

Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
absabv	⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2		cnfldbas 21356	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4		cnfldadd 21358	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6		cnfldmul 21360	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8		cnfld0 21376	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10		cnring 21374	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12		absf 15300	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14		abs0 15247	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (abs‘0) = 0)
16		absgt0 15287	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18	17	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19		absmul 15256	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
20	19	ad2ant2r 748	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21	20	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22		abstri 15293	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
23	22	ad2ant2r 748	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24	23	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
25	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24	isabvd 20789	. 2 ⊢ (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
26	25	mptru 1549	1 ⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  abscabs 15196  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  AbsValcabv 20785  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-abv 20786  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cnnrg  24745  cnindmet  25129  qabsabv  27592