MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absabv 21314
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld)

Proof of Theorem absabv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . . 3 (⊀ β†’ (AbsValβ€˜β„‚fld) = (AbsValβ€˜β„‚fld))
2 cnfldbas 21240 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld))
4 cnfldadd 21242 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
54a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
6 cnfldmul 21244 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
76a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
8 cnfld0 21277 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
98a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 0 = (0gβ€˜β„‚fld))
10 cnring 21275 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
1110a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ β„‚fld ∈ Ring)
12 absf 15288 . . . 4 abs:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
14 abs0 15236 . . . 4 (absβ€˜0) = 0
1514a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ (absβ€˜0) = 0)
16 absgt0 15275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘₯)))
1716biimpa 476 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ 0 < (absβ€˜π‘₯))
18173adant1 1127 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ 0 < (absβ€˜π‘₯))
19 absmul 15245 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
2019ad2ant2r 744 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
21203adant1 1127 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
22 abstri 15281 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
2322ad2ant2r 744 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
24233adant1 1127 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 20661 . 2 (⊀ β†’ abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld))
2625mptru 1540 1 abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250  abscabs 15185  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Ringcrg 20136  AbsValcabv 20657  β„‚fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-abv 20658  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  cnnrg  24648  cnindmet  25041  qabsabv  27513
  Copyright terms: Public domain W3C validator