Theorem absabv 20567

Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
absabv	⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2		cnfldbas 20514	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4		cnfldadd 20515	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6		cnfldmul 20516	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8		cnfld0 20534	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10		cnring 20532	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12		absf 14977	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14		abs0 14925	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (abs‘0) = 0)
16		absgt0 14964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18	17	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19		absmul 14934	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
20	19	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21	20	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22		abstri 14970	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
23	22	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24	23	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
25	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24	isabvd 19995	. 2 ⊢ (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
26	25	mptru 1546	1 ⊢ abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  abscabs 14873  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  AbsValcabv 19991  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701  df-abv 19992  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cnnrg  23850  cnindmet  24231  qabsabv  26682