MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absabv 20125
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2800 . . 3 (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2 cnfldbas 20072 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
32a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4 cnfldadd 20073 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
54a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6 cnfldmul 20074 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
76a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8 cnfld0 20092 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
98a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10 cnring 20090 . . . 4 fld ∈ Ring
1110a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12 absf 14418 . . . 4 abs:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14 abs0 14366 . . . 4 (abs‘0) = 0
1514a1i 11 . . 3 (⊤ → (abs‘0) = 0)
16 absgt0 14405 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
1716biimpa 469 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18173adant1 1161 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19 absmul 14375 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
2019ad2ant2r 754 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21203adant1 1161 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22 abstri 14411 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
2322ad2ant2r 754 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24233adant1 1161 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 19138 . 2 (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
2625mptru 1661 1 abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385   = wceq 1653  wtru 1654  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  abscabs 14315  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  0gc0g 16415  Ringcrg 18863  AbsValcabv 19134  fldccnfld 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ring 18865  df-cring 18866  df-abv 19135  df-cnfld 20069
This theorem is referenced by:  cnnrg  22912  cnindmet  23289  qabsabv  25670
  Copyright terms: Public domain W3C validator