MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absabv 21442
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)

Proof of Theorem absabv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . . 3 (⊤ → (AbsVal‘ℂfld) = (AbsVal‘ℂfld))
2 cnfldbas 21368 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
32a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
4 cnfldadd 21370 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
54a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
6 cnfldmul 21372 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
76a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
8 cnfld0 21405 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
98a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
10 cnring 21403 . . . 4 fld ∈ Ring
1110a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
12 absf 15376 . . . 4 abs:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
14 abs0 15324 . . . 4 (abs‘0) = 0
1514a1i 11 . . 3 (⊤ → (abs‘0) = 0)
16 absgt0 15363 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑥)))
1716biimpa 476 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
18173adant1 1131 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝑥))
19 absmul 15333 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
2019ad2ant2r 747 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
21203adant1 1131 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
22 abstri 15369 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
2322ad2ant2r 747 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
24233adant1 1131 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 20813 . 2 (⊤ → abs ∈ (AbsVal‘ℂfld))
2625mptru 1547 1 abs ∈ (AbsVal‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  abscabs 15273  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  AbsValcabv 20809  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-abv 20810  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  cnnrg  24801  cnindmet  25196  qabsabv  27673
  Copyright terms: Public domain W3C validator