MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absabv 21357
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld)

Proof of Theorem absabv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . . 3 (⊀ β†’ (AbsValβ€˜β„‚fld) = (AbsValβ€˜β„‚fld))
2 cnfldbas 21283 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld))
4 cnfldadd 21285 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
54a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
6 cnfldmul 21287 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
76a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
8 cnfld0 21320 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
98a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 0 = (0gβ€˜β„‚fld))
10 cnring 21318 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
1110a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ β„‚fld ∈ Ring)
12 absf 15317 . . . 4 abs:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
14 abs0 15265 . . . 4 (absβ€˜0) = 0
1514a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ (absβ€˜0) = 0)
16 absgt0 15304 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘₯)))
1716biimpa 476 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ 0 < (absβ€˜π‘₯))
18173adant1 1128 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ 0 < (absβ€˜π‘₯))
19 absmul 15274 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
2019ad2ant2r 746 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
21203adant1 1128 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜π‘¦)))
22 abstri 15310 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
2322ad2ant2r 746 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
24233adant1 1128 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜π‘¦)))
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 20700 . 2 (⊀ β†’ abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld))
2625mptru 1541 1 abs ∈ (AbsValβ€˜β„‚fld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   Β· cmul 11144   < clt 11279   ≀ cle 11280  abscabs 15214  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  Ringcrg 20173  AbsValcabv 20696  β„‚fldccnfld 21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-abv 20697  df-cnfld 21280
This theorem is referenced by:  cnnrg  24710  cnindmet  25103  qabsabv  27575
  Copyright terms: Public domain W3C validator