Theorem pjneli 31926

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjnorm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjneli	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem pjneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjnorm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjnormi 31924	. . 3 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴)
4	3	biantrur 538	. 2 ⊢ ((normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
5	1, 2	pjoc1i 31634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
6	1, 2	pjpythi 31925	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7		sq0 14205	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑2) = 0
8	7	oveq2i 7407	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
9	1, 2	pjhclii 31625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
10	9	normcli 31334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
11	10	resqcli 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
12	11	recni 11196	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
13	12	addridi 11370	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)
14	8, 13	eqtr2i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
15	6, 14	eqeq12i 2780	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
16	1	choccli 31510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
17	16, 2	pjhclii 31625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
18	17	normcli 31334	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
19	18	resqcli 14199	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
20	19	recni 11196	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21		0cn 11171	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
22	21	sqcli 14194	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) ∈ ℂ
23	12, 20, 22	addcani 11376	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24		normge0 31329	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26		0le0 12319	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
27		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	18, 27	sq11i 14204	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
29	25, 26, 28	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
30	17	norm-i-i 31336	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
31	23, 29, 30	3bitri 299	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
32	15, 31	bitr2i 278	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
33		normge0 31329	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)
35		normge0 31329	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
37	2	normcli 31334	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ
38	37, 10	sq11i 14204	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) → (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
39	34, 36, 38	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
40	5, 32, 39	3bitri 299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
41	40	necon3bbii 3004	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
42	10, 37	ltleni 11301	. 2 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
43	4, 41, 42	3bitr4i 305	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217  2c2 12272  ↑cexp 14074   ℋchba 31122  norm_ℎcno 31126  0_ℎc0v 31127   C_ℋ cch 31132  ⊥cort 31133  proj_ℎcpjh 31140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288  ax-hcompl 31405

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-lm 23289  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cfil 25317  df-cau 25318  df-cmet 25319  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-dip 30904  df-ssp 30925  df-ph 31016  df-cbn 31066  df-hnorm 31171  df-hba 31172  df-hvsub 31174  df-hlim 31175  df-hcau 31176  df-sh 31410  df-ch 31424  df-oc 31455  df-ch0 31456  df-shs 31511  df-pjh 31598

This theorem is referenced by:  pjnel  31929