Theorem pjneli 32325

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjnorm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjneli	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem pjneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjnorm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjnormi 32323	. . 3 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴)
4	3	biantrur 540	. 2 ⊢ ((normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
5	1, 2	pjoc1i 32033	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
6	1, 2	pjpythi 32324	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7		sq0 14335	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑2) = 0
8	7	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
9	1, 2	pjhclii 32024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
10	9	normcli 31733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
11	10	resqcli 14329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
12	11	recni 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
13	12	addridi 11497	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)
14	8, 13	eqtr2i 2785	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
15	6, 14	eqeq12i 2779	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
16	1	choccli 31909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
17	16, 2	pjhclii 32024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
18	17	normcli 31733	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
19	18	resqcli 14329	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
20	19	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21		0cn 11298	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
22	21	sqcli 14324	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) ∈ ℂ
23	12, 20, 22	addcani 11503	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24		normge0 31728	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26		0le0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
27		0re 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	18, 27	sq11i 14334	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
29	25, 26, 28	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
30	17	norm-i-i 31735	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
31	23, 29, 30	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
32	15, 31	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
33		normge0 31728	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)
35		normge0 31728	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
37	2	normcli 31733	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ
38	37, 10	sq11i 14334	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) → (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
39	34, 36, 38	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
40	5, 32, 39	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
41	40	necon3bbii 3003	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
42	10, 37	ltleni 11428	. 2 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
43	4, 41, 42	3bitr4i 306	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  2c2 12397  ↑cexp 14204   ℋchba 31521  norm_ℎcno 31525  0_ℎc0v 31526   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532  proj_ℎcpjh 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-pjh 31997

This theorem is used by:  pjnel  32328