Theorem pjneli 29137

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjnorm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjneli	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem pjneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjnorm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjnormi 29135	. . 3 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴)
4	3	biantrur 528	. 2 ⊢ ((normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
5	1, 2	pjoc1i 28845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
6	1, 2	pjpythi 29136	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7		sq0 13249	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑2) = 0
8	7	oveq2i 6916	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
9	1, 2	pjhclii 28836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
10	9	normcli 28543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
11	10	resqcli 13243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
12	11	recni 10371	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
13	12	addid1i 10542	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)
14	8, 13	eqtr2i 2850	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
15	6, 14	eqeq12i 2839	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
16	1	choccli 28721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
17	16, 2	pjhclii 28836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
18	17	normcli 28543	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
19	18	resqcli 13243	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
20	19	recni 10371	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21		0cn 10348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
22	21	sqcli 13238	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) ∈ ℂ
23	12, 20, 22	addcani 10548	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24		normge0 28538	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26		0le0 11459	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
27		0re 10358	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	18, 27	sq11i 13248	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
29	25, 26, 28	mp2an 685	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
30	17	norm-i-i 28545	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
31	23, 29, 30	3bitri 289	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
32	15, 31	bitr2i 268	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
33		normge0 28538	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)
35		normge0 28538	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
37	2	normcli 28543	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ
38	37, 10	sq11i 13248	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) → (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
39	34, 36, 38	mp2an 685	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
40	5, 32, 39	3bitri 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
41	40	necon3bbii 3046	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
42	10, 37	ltleni 10474	. 2 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
43	4, 41, 42	3bitr4i 295	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392  2c2 11406  ↑cexp 13154   ℋchba 28331  norm_ℎcno 28335  0_ℎc0v 28336   C_ℋ cch 28341  ⊥cort 28342  proj_ℎcpjh 28349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hvcom 28413  ax-hvass 28414  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvmulass 28419  ax-hvdistr1 28420  ax-hvdistr2 28421  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his2 28495  ax-his3 28496  ax-his4 28497  ax-hcompl 28614

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-lm 21404  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cfil 23423  df-cau 23424  df-cmet 23425  df-grpo 27903  df-gid 27904  df-ginv 27905  df-gdiv 27906  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-vs 28009  df-nmcv 28010  df-ims 28011  df-dip 28111  df-ssp 28132  df-ph 28223  df-cbn 28274  df-hnorm 28380  df-hba 28381  df-hvsub 28383  df-hlim 28384  df-hcau 28385  df-sh 28619  df-ch 28633  df-oc 28664  df-ch0 28665  df-shs 28722  df-pjh 28809

This theorem is referenced by:  pjnel  29140