HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjneli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjneli 29485
Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjnorm.1 𝐻C
pjnorm.2 𝐴 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
pjneli 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))

Proof of Theorem pjneli
StepHypRef Expression
1 pjnorm.1 . . . 4 𝐻C
2 pjnorm.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2pjnormi 29483 . . 3 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴)
43biantrur 534 . 2 ((norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
51, 2pjoc1i 29193 . . . 4 (𝐴𝐻 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
61, 2pjpythi 29484 . . . . . 6 ((norm𝐴)↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7 sq0 13539 . . . . . . . 8 (0↑2) = 0
87oveq2i 7141 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
91, 2pjhclii 29184 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
109normcli 28893 . . . . . . . . . 10 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
1110resqcli 13533 . . . . . . . . 9 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
1211recni 10632 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
1312addid1i 10804 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)
148, 13eqtr2i 2845 . . . . . 6 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
156, 14eqeq12i 2836 . . . . 5 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
161choccli 29069 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐻) ∈ C
1716, 2pjhclii 29184 . . . . . . . . . 10 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
1817normcli 28893 . . . . . . . . 9 (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
1918resqcli 13533 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
2019recni 10632 . . . . . . 7 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21 0cn 10610 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
2221sqcli 13528 . . . . . . 7 (0↑2) ∈ ℂ
2312, 20, 22addcani 10810 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24 normge0 28888 . . . . . . . 8 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26 0le0 11716 . . . . . . 7 0 ≤ 0
27 0re 10620 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2818, 27sq11i 13538 . . . . . . 7 ((0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
2925, 26, 28mp2an 691 . . . . . 6 (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
3017norm-i-i 28895 . . . . . 6 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3123, 29, 303bitri 300 . . . . 5 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3215, 31bitr2i 279 . . . 4 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0 ↔ ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
33 normge0 28888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
342, 33ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm𝐴)
35 normge0 28888 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
369, 35ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))
372normcli 28893 . . . . . 6 (norm𝐴) ∈ ℝ
3837, 10sq11i 13538 . . . . 5 ((0 ≤ (norm𝐴) ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))) → (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
3934, 36, 38mp2an 691 . . . 4 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
405, 32, 393bitri 300 . . 3 (𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4140necon3bbii 3054 . 2 𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4210, 37ltleni 10735 . 2 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
434, 41, 423bitr4i 306 1 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514   + caddc 10517   < clt 10652  cle 10653  2c2 11670  cexp 13413  chba 28681  normcno 28685  0c0v 28686   C cch 28691  cort 28692  projcpjh 28699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847  ax-hcompl 28964
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-lm 21813  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cfil 23838  df-cau 23839  df-cmet 23840  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-gdiv 28258  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-vs 28361  df-nmcv 28362  df-ims 28363  df-dip 28463  df-ssp 28484  df-ph 28575  df-cbn 28625  df-hnorm 28730  df-hba 28731  df-hvsub 28733  df-hlim 28734  df-hcau 28735  df-sh 28969  df-ch 28983  df-oc 29014  df-ch0 29015  df-shs 29070  df-pjh 29157
This theorem is referenced by:  pjnel  29488
  Copyright terms: Public domain W3C validator