Theorem pjneli 31812

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjnorm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjneli	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem pjneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjnorm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjnormi 31810	. . 3 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴)
4	3	biantrur 530	. 2 ⊢ ((normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
5	1, 2	pjoc1i 31520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
6	1, 2	pjpythi 31811	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7		sq0 14148	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑2) = 0
8	7	oveq2i 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
9	1, 2	pjhclii 31511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
10	9	normcli 31220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
11	10	resqcli 14142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
12	11	recni 11153	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
13	12	addridi 11327	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)
14	8, 13	eqtr2i 2761	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
15	6, 14	eqeq12i 2755	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
16	1	choccli 31396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
17	16, 2	pjhclii 31511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
18	17	normcli 31220	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
19	18	resqcli 14142	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
20	19	recni 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21		0cn 11130	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
22	21	sqcli 14137	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) ∈ ℂ
23	12, 20, 22	addcani 11333	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24		normge0 31215	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26		0le0 12276	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
27		0re 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	18, 27	sq11i 14147	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
29	25, 26, 28	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
30	17	norm-i-i 31222	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
31	23, 29, 30	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
32	15, 31	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
33		normge0 31215	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)
35		normge0 31215	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
37	2	normcli 31220	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ
38	37, 10	sq11i 14147	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) → (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
39	34, 36, 38	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
40	5, 32, 39	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
41	40	necon3bbii 2980	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
42	10, 37	ltleni 11258	. 2 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ (normℎ‘𝐴) ≠ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
43	4, 41, 42	3bitr4i 303	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174  2c2 12230  ↑cexp 14017   ℋchba 31008  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019  proj_ℎcpjh 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-pjh 31484

This theorem is referenced by:  pjnel  31815