MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2i 10822
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by NM, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid2i (0 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem addid2i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid2 10817 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (0 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674
This theorem is referenced by:  ine0  11069  muleqadd  11278  inelr  11622  nnne0  11666  0p1e1  11754  num0h  12105  nummul1c  12142  decrmac  12151  fz0tp  13010  fz0to4untppr  13012  fzo0to3tp  13125  cats1fvn  14218  rei  14513  imi  14514  ef01bndlem  15535  gcdaddmlem  15868  dec5dvds2  16397  2exp16  16422  43prm  16453  83prm  16454  139prm  16455  163prm  16456  317prm  16457  631prm  16458  1259lem1  16462  1259lem2  16463  1259lem3  16464  1259lem4  16465  1259lem5  16466  2503lem1  16468  2503lem2  16469  2503lem3  16470  2503prm  16471  4001lem1  16472  4001lem2  16473  4001lem3  16474  4001prm  16476  frgpnabllem1  18991  pcoass  23627  dvradcnv  25014  efhalfpi  25062  sinq34lt0t  25100  efifo  25137  logm1  25178  argimgt0  25201  ang180lem4  25396  1cubr  25426  asin1  25478  atanlogsublem  25499  dvatan  25519  log2ublem3  25532  log2ub  25533  basellem9  25672  cht2  25755  log2sumbnd  26126  ax5seglem7  26727  ex-fac  28234  dp20h  30561  dpmul4  30596  hgt750lem2  31950  12gcd5e1  39199  sqn5i  39353  decpmul  39356  sqdeccom12  39357  sq3deccom12  39358  ex-decpmul  39360  fltnltalem  39474  dirkertrigeqlem1  42606  dirkertrigeqlem3  42608  fourierdlem103  42717  sqwvfoura  42736  sqwvfourb  42737  fouriersw  42739  fmtno5lem1  43936  fmtno5lem2  43937  fmtno5lem4  43939  fmtno4prmfac  43955  fmtno5faclem2  43963  fmtno5faclem3  43964  fmtno5fac  43965  139prmALT  43979  127prm  43982  2exp11  43984  2exp340mod341  44117  nfermltl8rev  44126  ackval1012  44958  ackval2012  44959  ackval3012  44960
  Copyright terms: Public domain W3C validator