Theorem angmndaddov1lem 29257

Description: Lemma for angmndaddov1 29259. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmndadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmndadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmndadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmndadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmndadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmndadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmndadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmndaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmndaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmndaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmndaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmndaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmndaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmndaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmndaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmndaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmndaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmndaddov1lem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
angmndaddov1lem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   − ,𝑑,𝑠   ∼ ,𝑠   𝐺,𝑑,𝑠   𝐼,𝑑,𝑠   𝐿,𝑑,𝑠   𝑃,𝑑,𝑠   𝑈,𝑑,𝑠   𝑉,𝑑,𝑠   𝑊,𝑑,𝑠   𝑋,𝑑,𝑠   𝑌,𝑑,𝑠   𝑍,𝑑,𝑠   𝜑,𝑑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠, 𝑑)   ∼ (𝑑)

Proof of Theorem angmndaddov1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmndadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmndadd.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
3		angmndadd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmndadd.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		angmndadd.c	. . . . 5 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
6		angmndadd.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		angmndadd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		angmndaddov.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ∈ 𝑃)
11		angmndaddov.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ∈ 𝑃)
13		angmndaddov.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		angmndaddov.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17		angmndaddov.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19		angmndaddov.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21		angmndaddeu.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑉)
23		angmndaddeu.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
25		angmndaddeu.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
27		angmndaddeu.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ≠ 𝑍)
29		angmndaddov1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31	angmndaddeu2 29251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
33	32	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
34	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
36	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
37	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
38	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
40	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
41	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
42	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
43	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
44	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
45	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈))
47	1, 4, 3, 34, 37, 36, 35, 46	tgbtwncom 28826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47	angmndaddeu3 29252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
49	48	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
50		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
52	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
53	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
54	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	23	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
57	56	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
58		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
59	1, 3, 6, 54, 51, 52, 53, 57, 58	lncom 28965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑊𝐿𝑉))
60	1, 3, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 6, 59	lnhl 28956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊 ∨ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)))
61	33, 49, 60	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
62	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
64	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
65	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
66	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
67	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
69	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
70	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
71	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
72	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
73	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
74		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	angmndaddeu1 29250	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
76	61, 75	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365  {crab 3414   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  ..^cfzo 13709  ⟨“cs3 14913  Basecbs 17303  distcds 17353  TarskiGcstrkg 28764  Itvcitv 28770  LineGclng 28771  hlGchlg 28938  cgrAccgra 29189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28785  df-trkgb 28786  df-trkgcb 28787  df-trkgld 28789  df-trkg 28790  df-cgrg 28849  df-ismt 28871  df-leg 28921  df-hlg 28939  df-mir 29000  df-rag 29044  df-perpg 29046  df-hpg 29111  df-mid 29154  df-lmi 29155  df-cgra 29190

This theorem is used by:  angmndaddov1  29259  angmndaddcpbl  29261