Theorem angmndaddcpbl 29261

Description: Addition of angles is compatible with angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmndadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmndadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmndadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmndadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmndadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmndadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmndadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmndadd.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmndaddcpbl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
angmndaddcpbl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
angmndaddcpbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
angmndaddcpbl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
angmndaddcpbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐶)
angmndaddcpbl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∼ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
angmndaddcpbl	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐷,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐸,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐹,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐺,𝑑,𝑠   𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   + (𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   𝐺(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem angmndaddcpbl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
2	1	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
3		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
4	2, 3	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → (𝐸 + 𝐹) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩))
5		angmndadd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		angmndadd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
7		angmndadd.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		angmndadd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		angmndadd.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
10		angmndadd.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		angmndadd.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	13	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	14	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
19		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
21		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
23		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑃)
24	23	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
26		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
28	27	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
30		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
32		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
33	32	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
34		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
35	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
36		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37	36	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
38		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
39	38	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
40		angmndadd.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
41		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
42	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
43		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
44		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))
46	5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 22, 25, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 43, 44, 45	angmndaddov2 29260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) = ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩)
47	4, 46	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → (𝐸 + 𝐹) = ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩)
48	16	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
50		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑃)
51	50	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝑃)
52	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝑃)
53		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑃)
54	53	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑖 ∈ 𝑃)
55	54	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑖 ∈ 𝑃)
56	55	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑖 ∈ 𝑃)
57		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑗 ∈ 𝑃)
58	57	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑗 ∈ 𝑃)
59	58	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑗 ∈ 𝑃)
60		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ℎ ∈ 𝑃)
61	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
62	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
63	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
64	35	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
65		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑗 ≠ 𝑘)
66	65	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
67	66	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
68	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
69	29	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
70	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
71		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
72	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
73	44	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
74	72, 73	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
75	5, 7, 48, 71, 49, 62, 63, 68, 69, 70, 74	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩)
76	5, 7, 10, 15, 24, 28, 30, 36, 41, 38	lnrot2 28967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
77	76	orcd 887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
78	77	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
79	5, 7, 8, 48, 68, 69, 70, 49, 62, 63, 75, 10, 78	cgracol 29211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝑡 ∈ (𝑤𝐿𝑣) ∨ 𝑤 = 𝑣))
80	64	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑤 ≠ 𝑣)
81	80	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ¬ 𝑤 = 𝑣)
82	79, 81	olcnd 891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑡 ∈ (𝑤𝐿𝑣))
83	5, 7, 10, 48, 62, 49, 63, 64, 82	lncom 28965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑡 ∈ (𝑣𝐿𝑤))
84	5, 8, 7, 48, 61, 63	tgbtwntriv2 28825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑡 ∈ (𝑢𝐼𝑡))
85	83, 84	elind 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑡 ∈ ((𝑣𝐿𝑤) ∩ (𝑢𝐼𝑡)))
86	85	ne0d 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ((𝑣𝐿𝑤) ∩ (𝑢𝐼𝑡)) ≠ ∅)
87		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑎 ∈ 𝑃)
88	87	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝑃)
89	88	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
90	89	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
91		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑏 ∈ 𝑃)
92	91	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑏 ∈ 𝑃)
93	92	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
94	93	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
95		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑐 ∈ 𝑃)
96	95	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑐 ∈ 𝑃)
97	96	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
98	97	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
99		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
100	72, 99	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
101	5, 7, 48, 71, 52, 59, 60, 90, 94, 98, 100	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩)
102	88	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
103	92	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
104	96	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
105	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
106		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
107		angmndaddcpbl.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐶)
108	107	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝐸 ∼ 𝐶)
109	108	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝐸 ∼ 𝐶)
110	109	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ∼ 𝐶)
111		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
112	111	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
113	110, 112	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
114	106, 113	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
115	105, 114	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
116	115	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
117	5, 7, 8, 15, 24, 28, 30, 102, 103, 104, 116, 10, 77	cgracol 29211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
118	117	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
119	5, 7, 8, 48, 90, 94, 98, 52, 59, 60, 101, 10, 118	cgracol 29211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (ℎ ∈ (𝑘𝐿𝑗) ∨ 𝑘 = 𝑗))
120	67	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑘 ≠ 𝑗)
121	120	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ¬ 𝑘 = 𝑗)
122	119, 121	olcnd 891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ℎ ∈ (𝑘𝐿𝑗))
123	5, 7, 10, 48, 59, 52, 60, 67, 122	lncom 28965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ℎ ∈ (𝑗𝐿𝑘))
124	5, 8, 7, 48, 56, 60	tgbtwntriv2 28825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ℎ ∈ (𝑖𝐼ℎ))
125	123, 124	elind 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ℎ ∈ ((𝑗𝐿𝑘) ∩ (𝑖𝐼ℎ)))
126	125	ne0d 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ((𝑗𝐿𝑘) ∩ (𝑖𝐼ℎ)) ≠ ∅)
127	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
128		angmndaddcpbl.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∼ 𝐷)
129	128	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝐹 ∼ 𝐷)
130	129	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝐹 ∼ 𝐷)
131	130	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐹 ∼ 𝐷)
132	131	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝐹 ∼ 𝐷)
133	132	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝐹 ∼ 𝐷)
134	127, 133	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∼ 𝐷)
135		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
136	135	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
137	136	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
138	134, 137	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
139	9	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (cgrA‘𝐺) = ∼
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
141	116	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
142	5, 7, 48, 71, 68, 69, 70, 90, 94, 98, 141	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
143	5, 7, 48, 71, 52, 59, 60, 90, 94, 98, 100, 68, 69, 70, 142	cgratr 29205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
144	5, 7, 48, 71, 52, 59, 60, 68, 69, 70, 143	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩)
145	5, 7, 48, 71, 49, 62, 63, 68, 69, 70, 74, 52, 59, 60, 144	cgratr 29205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩)
146	140, 145	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩)
147	5, 7, 10, 9, 48, 49, 52, 56, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 86, 126, 138, 146	tgaaddcpbl2 29228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗ℎ”⟩)
148	112	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
149	148	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
150	149, 137	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝐶 + 𝐷) = (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ + ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩))
151		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑖 ≠ 𝑗)
152	151	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑖 ≠ 𝑗)
153	152	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑖 ≠ 𝑗)
154		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑎 ≠ 𝑏)
155	154	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑎 ≠ 𝑏)
156	155	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
157	156	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
158		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑏 ≠ 𝑐)
159	158	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑏 ≠ 𝑐)
160	159	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑏 ≠ 𝑐)
161	160	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑏 ≠ 𝑐)
162	159	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑏 ≠ 𝑐)
163	155	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
164	163	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
165	117, 164	olcnd 891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
166	5, 7, 10, 15, 103, 104, 102, 162, 165, 163	lnrot1 28966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
167	166	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
168	167	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
169		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎))
170	5, 6, 7, 8, 9, 10, 48, 56, 59, 52, 90, 94, 98, 153, 67, 157, 161, 40, 168, 60, 99, 169	angmndaddov2 29260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ + ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) = ⟨“𝑖𝑗ℎ”⟩)
171	150, 170	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → (𝐶 + 𝐷) = ⟨“𝑖𝑗ℎ”⟩)
172	147, 171	breqtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
173	172	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎))) → ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
174	5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 55, 58, 51, 89, 93, 97, 152, 66, 156, 160, 167	angmndaddov2lem 29258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → ∃!ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)))
175		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃!ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)))
176	174, 175	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑘𝑗ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑗 − ℎ) = (𝑏 − 𝑎)))
177	173, 176	r19.29a 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
178	47, 177	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
179	178	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
180	5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 19, 21, 24, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 41	angmndaddov2lem 29258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃!𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
181		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃!𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
182	180, 181	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
183	179, 182	r19.29a 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
184	1	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
185		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
186	184, 185	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → (𝐸 + 𝐹) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩))
187	14	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
188	187	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
189		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑢 ∈ 𝑃)
190		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑣 ∈ 𝑃)
191		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑤 ∈ 𝑃)
192	23	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
193	192	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
194	26	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑃)
195	194	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑦 ∈ 𝑃)
196		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
197	196	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑧 ∈ 𝑃)
198	197	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ 𝑃)
199		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑢 ≠ 𝑣)
200		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑣 ≠ 𝑤)
201		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ≠ 𝑦)
202	201	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑦)
203	202	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑦)
204		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑦 ≠ 𝑧)
205	204	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑦 ≠ 𝑧)
206		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
207		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
208		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
209		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢))
210		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)
211	5, 6, 7, 8, 9, 10, 188, 189, 190, 191, 193, 195, 198, 199, 200, 203, 205, 40, 206, 207, 208, 209, 210	angmndaddov1 29259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) = ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩)
212	186, 211	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → (𝐸 + 𝐹) = ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩)
213	188	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
214	198	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ 𝑃)
215	96	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑐 ∈ 𝑃)
216	215	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑐 ∈ 𝑃)
217	216	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑐 ∈ 𝑃)
218	88	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑎 ∈ 𝑃)
219	218	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑎 ∈ 𝑃)
220	219	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑎 ∈ 𝑃)
221	92	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑏 ∈ 𝑃)
222	221	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑏 ∈ 𝑃)
223	222	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑏 ∈ 𝑃)
224		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ℎ ∈ 𝑃)
225	193	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
226	195	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑦 ∈ 𝑃)
227	207	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
228	205	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑦 ≠ 𝑧)
229	159	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑏 ≠ 𝑐)
230	229	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑏 ≠ 𝑐)
231	230	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑏 ≠ 𝑐)
232	14	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
233	232	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
234		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
235	232	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
236	26	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
237	236	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
238	196	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑧 ∈ 𝑃)
239	238	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
240		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑦 ≠ 𝑧)
241	240	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
242	5, 7, 10, 235, 237, 239, 241	tgelrnln 28973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝑦𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
243		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
244	5, 10, 7, 235, 242, 243	tglnpt 28887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
245	244	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
246	23	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
247	246	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
248		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥))
249	5, 8, 7, 233, 234, 245, 247, 248	tgbtwncom 28826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) → 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡))
250	232	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
251	246	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
252	244	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
253		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
254		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡))
255	5, 8, 7, 250, 251, 252, 253, 254	tgbtwncom 28826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)) → 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥))
256	249, 255	impbida 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥) ↔ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)))
257	256	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) → ((𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡))))
258		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)))
259		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡)))
260	258, 259	bibi12i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ↔ 𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡))) ↔ ((𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑡𝐼𝑥)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ 𝑙 ∈ (𝑥𝐼𝑡))))
261	257, 260	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) → (𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ↔ 𝑙 ∈ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡))))
262	261	eqrdv 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) = ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡)))
263	262	neeq1d 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) → (((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅ ↔ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡)) ≠ ∅))
264	263	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡)) ≠ ∅)
265	264	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑥𝐼𝑡)) ≠ ∅)
266	188	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
267		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → ℎ ∈ 𝑃)
268	188	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
269	222	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
270	216	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
271	230	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝑏 ≠ 𝑐)
272	5, 7, 10, 268, 269, 270, 271	tgelrnln 28973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → (𝑏𝐿𝑐) ∈ ran 𝐿)
273		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
274	5, 10, 7, 268, 272, 273	tglnpt 28887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
275	274	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
276	219	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
277		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎))
278	5, 8, 7, 266, 267, 275, 276, 277	tgbtwncom 28826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) → 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ))
279	188	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
280	219	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
281	274	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → 𝑙 ∈ 𝑃)
282		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → ℎ ∈ 𝑃)
283		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ))
284	5, 8, 7, 279, 280, 281, 282, 283	tgbtwncom 28826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)) → 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎))
285	278, 284	impbida 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐)) → (𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎) ↔ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)))
286	285	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) → ((𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ))))
287		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)))
288		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ)))
289	287, 288	bibi12i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ↔ 𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ))) ↔ ((𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (ℎ𝐼𝑎)) ↔ (𝑙 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∧ 𝑙 ∈ (𝑎𝐼ℎ))))
290	286, 289	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) → (𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ↔ 𝑙 ∈ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ))))
291	290	eqrdv 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) → ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) = ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ)))
292	291	neeq1d 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) → (((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅ ↔ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ)) ≠ ∅))
293	292	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (𝑎𝐼ℎ)) ≠ ∅)
294	184	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
295	110	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐸 ∼ 𝐶)
296	295	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝐸 ∼ 𝐶)
297	296	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐸 ∼ 𝐶)
298	294, 297	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∼ 𝐶)
299	112	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
300	299	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
301	298, 300	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
302	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
303	189	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑢 ∈ 𝑃)
304	190	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑣 ∈ 𝑃)
305	191	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑤 ∈ 𝑃)
306	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
307	208	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
308	306, 307	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
309	54	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑖 ∈ 𝑃)
310	309	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑖 ∈ 𝑃)
311	310	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑖 ∈ 𝑃)
312	57	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑗 ∈ 𝑃)
313	312	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑗 ∈ 𝑃)
314	313	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑗 ∈ 𝑃)
315	50	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑘 ∈ 𝑃)
316	315	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑘 ∈ 𝑃)
317	316	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑘 ∈ 𝑃)
318		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
319	306, 318	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
320	185	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
321	131	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐹 ∼ 𝐷)
322	321	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝐹 ∼ 𝐷)
323	322	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐹 ∼ 𝐷)
324	320, 323	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∼ 𝐷)
325	135	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
326	325	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
327	324, 326	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
328	306, 327	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
329	5, 7, 213, 71, 303, 304, 305, 311, 314, 317, 328	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
330	5, 7, 213, 71, 217, 223, 224, 311, 314, 317, 319, 303, 304, 305, 329	cgratr 29205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
331	5, 7, 213, 71, 217, 223, 224, 303, 304, 305, 330	cgracom 29204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩)
332	5, 7, 213, 71, 214, 226, 227, 303, 304, 305, 308, 217, 223, 224, 331	cgratr 29205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩)
333	302, 332	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩)
334	5, 7, 10, 9, 213, 214, 217, 220, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 231, 265, 293, 301, 333	tgaaddcpbl2 29228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑎𝑏ℎ”⟩)
335	300, 326	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → (𝐶 + 𝐷) = (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ + ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩))
336	151	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑖 ≠ 𝑗)
337	336	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑖 ≠ 𝑗)
338	337	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑖 ≠ 𝑗)
339	65	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑗 ≠ 𝑘)
340	339	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑗 ≠ 𝑘)
341	340	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑗 ≠ 𝑘)
342	155	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑎 ≠ 𝑏)
343	342	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → 𝑎 ≠ 𝑏)
344	343	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → 𝑎 ≠ 𝑏)
345	88	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
346	92	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
347	96	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
348	115	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
349		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
350	240	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑦 = 𝑧)
351		ioran 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∨ 𝑦 = 𝑧) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
352	349, 350, 351	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∨ 𝑦 = 𝑧))
353	5, 10, 7, 232, 236, 238, 246, 352	ncolrot2 28901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
354	5, 7, 8, 232, 246, 236, 238, 345, 346, 347, 348, 10, 353	cgrancol 29212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
355	5, 10, 7, 232, 345, 346, 347, 354	ncolrot1 28900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐) ∨ 𝑏 = 𝑐))
356	355	orsild 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
357	356	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ¬ 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
358	357	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ¬ 𝑎 ∈ (𝑏𝐿𝑐))
359		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖))
360		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅)
361	5, 6, 7, 8, 9, 10, 213, 311, 314, 317, 220, 223, 217, 338, 341, 344, 231, 40, 358, 224, 318, 359, 360	angmndaddov1 29259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ + ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) = ⟨“𝑎𝑏ℎ”⟩)
362	335, 361	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → (𝐶 + 𝐷) = ⟨“𝑎𝑏ℎ”⟩)
363	334, 362	breqtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖)) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
364	363	3anasss 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅)) → ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
365	5, 6, 7, 8, 9, 10, 188, 310, 313, 316, 219, 222, 216, 337, 340, 343, 230, 357	angmndaddov1lem 29257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ∃!ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅))
366		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃!ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅))
367	365, 366	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (⟨“𝑐𝑏ℎ”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑏 − ℎ) = (𝑗 − 𝑖) ∧ ((𝑏𝐿𝑐) ∩ (ℎ𝐼𝑎)) ≠ ∅))
368	364, 367	r19.29a 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩ ∼ (𝐶 + 𝐷))
369	212, 368	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
370	369	3anasss 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
371	14	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
372		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
373		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
374		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
375	23	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
376	27	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
377		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
378		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
379		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
380		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
381		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
382		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
383	5, 6, 7, 8, 9, 10, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382	angmndaddov1lem 29257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃!𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
384		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃!𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
385	383, 384	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
386	370, 385	r19.29a 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
387		exmidd 909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)))
388	183, 386, 387	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
389	388	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
390	389	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
391	390	r19.29an 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
392	5	fvexi 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑃 ∈ V
393		angmndaddcpbl.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
394	392, 6, 393	elcgrabasi 29248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
395	394	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
396	395	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
397	391, 396	r19.29vva 3224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
398	397	anasss 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
399	398	anasss 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
400	399	r19.29an 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
401		angmndaddcpbl.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
402	392, 6, 401	elcgrabasi 29248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
403	402	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
404	403	ad9antr 755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
405	400, 404	r19.29vva 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
406	405	anasss 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
407	406	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
408	407	r19.29an 3168	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑃 (𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
409		angmndaddcpbl.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
410	392, 6, 409	elcgrabasi 29248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∃𝑗 ∈ 𝑃 ∃𝑘 ∈ 𝑃 (𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
411	410	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∃𝑗 ∈ 𝑃 ∃𝑘 ∈ 𝑃 (𝐷 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
412	408, 411	r19.29vva 3224	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
413	412	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
414	413	anasss 472	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
415	414	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))) → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))
416		angmndaddcpbl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
417	392, 6, 416	elcgrabasi 29248	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
418	415, 417	r19.29vva 3224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐹) ∼ (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365  {crab 3414   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  ..^cfzo 13709  ⟨“cs3 14913  Basecbs 17303  distcds 17353  TarskiGcstrkg 28764  Itvcitv 28770  LineGclng 28771  hlGchlg 28938  cgrAccgra 29189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28785  df-trkgb 28786  df-trkgcb 28787  df-trkgld 28789  df-trkg 28790  df-cgrg 28849  df-ismt 28871  df-leg 28921  df-hlg 28939  df-mir 29000  df-rag 29044  df-perpg 29046  df-hpg 29111  df-mid 29154  df-lmi 29155  df-cgra 29190

This theorem is used by: (None)