Theorem binom11 15544

Description: Special case of the binomial theorem for 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
binom11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12036	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (2↑𝑁) = ((1 + 1)↑𝑁)
3		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		binom1p 15543	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
5	3, 4	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
6	2, 5	eqtrid 2790	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
7		elfzelz 13256	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		1exp 13812	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (1↑𝑘) = 1)
10	9	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = ((𝑁C𝑘) · 1))
11		bccl2 14037	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 11989	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13	12	mulid1d 10992	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · 1) = (𝑁C𝑘))
14	10, 13	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = (𝑁C𝑘))
15	14	sumeq2i 15411	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘)
16	6, 15	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Ccbc 14016  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  chtublem  26359  lcmineqlem17  40053