MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ebits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ebits 16442
Description: The bits of a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2ebits (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘(2↑𝑁)) = {𝑁})

Proof of Theorem 2ebits
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12332 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 14257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
54nncnd 12275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
6 oveq2 7431 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
76sumsn 15745 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
85, 7mpdan 685 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
98fveq2d 6904 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = (bits‘(2↑𝑁)))
10 snssi 4816 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
11 snfi 9080 . . . 4 {𝑁} ∈ Fin
12 elfpw 9394 . . . 4 ({𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ({𝑁} ⊆ ℕ0 ∧ {𝑁} ∈ Fin))
1310, 11, 12sylanblrc 588 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
14 bitsinv2 16438 . . 3 ({𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = {𝑁})
1513, 14syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = {𝑁})
169, 15eqtr3d 2767 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘(2↑𝑁)) = {𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3945  wss 3946  𝒫 cpw 4606  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7423  Fincfn 8973  cc 11152  cn 12259  2c2 12314  0cn0 12519  cexp 14076  Σcsu 15685  bitscbits 16414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-xnn0 12592  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-dvds 16252  df-bits 16417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator