MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ebits Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2ebits 16393
Description: The bits of a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2ebits (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜(2↑𝑁)) = {𝑁})
Proof of Theorem 2ebits
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12286 . . . . . . 7 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nnexpcld 14211 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
54nncnd 12229 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
6 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑𝑁))
76sumsn 15696 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑁} (2β†‘π‘˜) = (2↑𝑁))
85, 7mpdan 684 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑁} (2β†‘π‘˜) = (2↑𝑁))
98fveq2d 6888 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝑁} (2β†‘π‘˜)) = (bitsβ€˜(2↑𝑁)))
10 snssi 4806 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑁} βŠ† β„•0)
11 snfi 9043 . . . 4 {𝑁} ∈ Fin
12 elfpw 9353 . . . 4 ({𝑁} ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ({𝑁} βŠ† β„•0 ∧ {𝑁} ∈ Fin))
1310, 11, 12sylanblrc 589 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑁} ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
14 bitsinv2 16389 . . 3 ({𝑁} ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝑁} (2β†‘π‘˜)) = {𝑁})
1513, 14syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝑁} (2β†‘π‘˜)) = {𝑁})
169, 15eqtr3d 2768 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜(2↑𝑁)) = {𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β†‘cexp 14030  Ξ£csu 15636  bitscbits 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16203  df-bits 16368
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator