Theorem 2ebits 16355

Description: The bits of a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2ebits	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘(2↑𝑁)) = {𝑁})

Proof of Theorem 2ebits

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12195	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14149	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12138	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
6		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
7	6	sumsn 15650	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
8	5, 7	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
9	8	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = (bits‘(2↑𝑁)))
10		snssi 4760	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
11		snfi 8965	. . . 4 ⊢ {𝑁} ∈ Fin
12		elfpw 9238	. . . 4 ⊢ ({𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ({𝑁} ⊆ ℕ0 ∧ {𝑁} ∈ Fin))
13	10, 11, 12	sylanblrc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
14		bitsinv2 16351	. . 3 ⊢ ({𝑁} ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = {𝑁})
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘)) = {𝑁})
16	9, 15	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘(2↑𝑁)) = {𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11001  ℕcn 12122  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ↑cexp 13965  Σcsu 15590  bitscbits 16327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-dvds 16161  df-bits 16330

This theorem is referenced by: (None)