Theorem qsfld 33846

Description: An ideal 𝑀 in the commutative ring 𝑅 is maximal if and only if the factor ring 𝑄 is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsfld.1	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsfld.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qsfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsfld.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
qsfld	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem qsfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		qsfld.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		qsfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		qsfld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		qsfld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7	6	crng2idl 21472	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
9	4, 8	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10	1, 2, 3, 9	qsdrng 33845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
11		isfld 20892	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Field ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing))
12	2, 6	quscrng 21475	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ CRing)
13	5, 4, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CRing)
14	13	biantrud 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing)))
15	11, 14	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑄 ∈ DivRing))
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
17	16, 1	crngmxidl 33818	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
18	5, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
19	18	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
20	19	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	pm4.71d 571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
22	10, 15, 21	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   /_s cqus 17583   ~_QG cqg 19234  CRingccrg 20362  opp_rcoppr 20466  NzRingcnzr 20661  DivRingcdr 20879  Fieldcfield 20880  LIdealclidl 21382  2Idealc2idl 21440  MaxIdealcmxidl 33808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-imas 17586  df-qus 17587  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-eqg 19237  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-oppg 19462  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-nzr 20662  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-field 20882  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lmhm 21195  df-lbs 21248  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-rsp 21385  df-2idl 21441  df-dsmm 21934  df-frlm 21949  df-uvc 21985  df-mxidl 33809

This theorem is used by:  mxidlprmALT  33847