Theorem qsfld 33528

Description: An ideal 𝑀 in the commutative ring 𝑅 is maximal if and only if the factor ring 𝑄 is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsfld.1	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsfld.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qsfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsfld.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
qsfld	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem qsfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		qsfld.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		qsfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		qsfld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		qsfld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7	6	crng2idl 21234	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
9	4, 8	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10	1, 2, 3, 9	qsdrng 33527	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
11		isfld 20671	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Field ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing))
12	2, 6	quscrng 21236	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ CRing)
13	5, 4, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CRing)
14	13	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing)))
15	11, 14	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑄 ∈ DivRing))
16		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
17	16, 1	crngmxidl 33499	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
19	18	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
20	19	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
22	10, 15, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   /_s cqus 17424   ~_QG cqg 19050  CRingccrg 20167  opp_rcoppr 20270  NzRingcnzr 20443  DivRingcdr 20660  Fieldcfield 20661  LIdealclidl 21159  2Idealc2idl 21202  MaxIdealcmxidl 33489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-nzr 20444  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-field 20663  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lmhm 20972  df-lbs 21025  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-2idl 21203  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-uvc 21736  df-mxidl 33490

This theorem is referenced by:  mxidlprmALT  33529