Theorem qsfld 33475

Description: An ideal 𝑀 in the commutative ring 𝑅 is maximal if and only if the factor ring 𝑄 is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsfld.1	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsfld.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qsfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsfld.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
qsfld	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem qsfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		qsfld.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		qsfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		qsfld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		qsfld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7	6	crng2idl 21197	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
9	4, 8	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10	1, 2, 3, 9	qsdrng 33474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
11		isfld 20655	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Field ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing))
12	2, 6	quscrng 21199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ CRing)
13	5, 4, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CRing)
14	13	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing)))
15	11, 14	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑄 ∈ DivRing))
16		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
17	16, 1	crngmxidl 33446	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
19	18	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
20	19	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
22	10, 15, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   /_s cqus 17474   ~_QG cqg 19060  CRingccrg 20149  opp_rcoppr 20251  NzRingcnzr 20427  DivRingcdr 20644  Fieldcfield 20645  LIdealclidl 21122  2Idealc2idl 21165  MaxIdealcmxidl 33436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-imas 17477  df-qus 17478  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-nsg 19062  df-eqg 19063  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-oppg 19284  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-nzr 20428  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lmhm 20935  df-lbs 20988  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-lidl 21124  df-rsp 21125  df-2idl 21166  df-dsmm 21647  df-frlm 21662  df-uvc 21698  df-mxidl 33437

This theorem is referenced by:  mxidlprmALT  33476