Theorem qsfld 33081

Description: An ideal 𝑀 in the commutative ring 𝑅 is maximal if and only if the factor ring 𝑄 is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsfld.1	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsfld.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qsfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsfld.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
qsfld	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem qsfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		qsfld.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		qsfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		qsfld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		qsfld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7	6	crng2idl 21126	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
9	4, 8	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10	1, 2, 3, 9	qsdrng 33080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
11		isfld 20588	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Field ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing))
12	2, 6	quscrng 21128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ CRing)
13	5, 4, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CRing)
14	13	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing)))
15	11, 14	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑄 ∈ DivRing))
16		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
17	16, 1	crngmxidl 33054	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
19	18	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
20	19	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
22	10, 15, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   /_s cqus 17450   ~_QG cqg 19039  CRingccrg 20129  opp_rcoppr 20225  NzRingcnzr 20404  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  LIdealclidl 21055  2Idealc2idl 21096  MaxIdealcmxidl 33044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-nzr 20405  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lmhm 20860  df-lbs 20913  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-rsp 21058  df-2idl 21097  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-uvc 21646  df-mxidl 33045

This theorem is referenced by:  mxidlprmALT  33082