Theorem qsfld 33513

Description: An ideal 𝑀 in the commutative ring 𝑅 is maximal if and only if the factor ring 𝑄 is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsfld.1	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsfld.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qsfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsfld.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
qsfld	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem qsfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		qsfld.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		qsfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		qsfld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		qsfld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7	6	crng2idl 21283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
9	4, 8	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10	1, 2, 3, 9	qsdrng 33512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
11		isfld 20732	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Field ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing))
12	2, 6	quscrng 21285	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ CRing)
13	5, 4, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CRing)
14	13	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ DivRing ↔ (𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ CRing)))
15	11, 14	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑄 ∈ DivRing))
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
17	16, 1	crngmxidl 33484	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))
19	18	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
20	19	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘(oppr‘𝑅)))))
22	10, 15, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   /_s cqus 17546   ~_QG cqg 19136  CRingccrg 20227  opp_rcoppr 20325  NzRingcnzr 20504  DivRingcdr 20721  Fieldcfield 20722  LIdealclidl 21208  2Idealc2idl 21251  MaxIdealcmxidl 33474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-oadd 8506  df-er 8741  df-ec 8743  df-qs 8747  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-imas 17549  df-qus 17550  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19227  df-cntz 19331  df-oppg 19360  df-lsm 19650  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-cring 20229  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-nzr 20505  df-subrg 20562  df-drng 20723  df-field 20724  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lmhm 21013  df-lbs 21066  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21210  df-rsp 21211  df-2idl 21252  df-dsmm 21744  df-frlm 21759  df-uvc 21795  df-mxidl 33475

This theorem is referenced by:  mxidlprmALT  33514