Theorem 13prm 17062

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12434	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12241	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12645	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12173	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12436	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12764	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12663	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12237	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11155	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12226	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 17010	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12437	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12435	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12299	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12247	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12243	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12723	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11159	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12656	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12330	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12438	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12762	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12328	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12654	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17054	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  ;cdc 12625  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618

This theorem is referenced by:  1259lem5  17081  bpos1  27170