Theorem 13prm 16188

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11636	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 11430	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11842	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 11363	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 11638	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 11962	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 11860	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 11426	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mulid2i 10362	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 11415	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 16138	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 11639	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 11637	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 11500	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 11437	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 11432	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 11921	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 10366	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 11853	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 11531	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 15509	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 11640	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 11960	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 11529	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 11851	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 16180	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6905  1c1 10253   · cmul 10257  2c2 11406  3c3 11407  4c4 11408  5c5 11409  ;cdc 11821  ℙcprime 15757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-prm 15758

This theorem is referenced by:  1259lem5  16207  bpos1  25421