Theorem 13prm 17034

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12408	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12215	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12618	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12147	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12410	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12737	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12636	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12211	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11128	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12200	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 16982	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12411	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12409	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12273	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12221	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12217	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12696	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11132	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12629	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12304	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12412	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12735	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12302	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12627	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17026	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   · cmul 11022  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  ;cdc 12598  ℙcprime 16589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-prm 16590

This theorem is referenced by:  1259lem5  17053  bpos1  27241