Theorem 13prm 17208

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12544	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12344	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12760	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12546	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12881	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12779	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11238	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12328	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 17155	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12406	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12839	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11242	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12772	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12440	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12548	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12879	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12437	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12770	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17199	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  ;cdc 12736  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762

This theorem is used by:  1259lem5  17227  bpos1  27519