Theorem 13prm 17054

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12487	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12290	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12696	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12222	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12489	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12815	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12714	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11218	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12275	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 17001	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12490	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12488	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12353	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12296	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12292	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12774	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11222	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12707	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12384	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12491	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12813	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12382	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12705	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17046	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  1c1 11108   · cmul 11112  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  ;cdc 12676  ℙcprime 16611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612

This theorem is referenced by:  1259lem5  17073  bpos1  27156