Theorem 13prm 16866

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12299	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12102	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12507	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12034	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12301	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12626	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12525	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12098	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mulid2i 11030	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12087	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 16813	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12302	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12300	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12165	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12108	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12104	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12585	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11034	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12518	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12196	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16170	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12303	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12624	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12194	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12516	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 16858	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  1c1 10922   · cmul 10926  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  5c5 12081  ;cdc 12487  ℙcprime 16425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-dvds 16013  df-prm 16426

This theorem is referenced by:  1259lem5  16885  bpos1  26480