Theorem 13prm 17077

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12444	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12655	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12176	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12446	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12774	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12673	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12247	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11141	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12236	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 17025	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12447	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12309	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12257	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12733	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11145	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12666	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12340	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12448	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12772	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12338	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12664	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17069	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  ;cdc 12635  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  1259lem5  17096  bpos1  27260