Theorem 13prm 17045

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12418	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12225	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12629	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12157	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12420	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12748	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12647	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12221	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11139	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12210	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 16993	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12421	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12419	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12283	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12231	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12227	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12707	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11143	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12640	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12314	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16341	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12422	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12746	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12312	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12638	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17037	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   · cmul 11033  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  ;cdc 12609  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  1259lem5  17064  bpos1  27210