Theorem 13prm 17093

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12465	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 12272	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12676	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 12204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 12467	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 12795	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12694	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11186	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 12257	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 17041	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 12468	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 12466	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 12330	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 12278	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 12274	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 12754	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 11190	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 12687	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 12361	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 12469	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 12793	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 12359	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 12685	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 17085	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  ;cdc 12656  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  1259lem5  17112  bpos1  27201