Theorem 19prm 17289

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12615	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12434	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12831	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12339	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12623	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12952	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12850	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12618	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12504	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12405	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17234	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12415	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12620	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12622	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12485	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12427	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12417	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12917	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11311	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12843	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12511	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12616	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12619	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12944	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12508	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12841	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17278	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by:  2503lem3  17310