Theorem 19prm 17086

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12518	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12340	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12727	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12253	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12526	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12846	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12745	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12521	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12410	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12312	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17031	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12321	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12523	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12525	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12392	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12333	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12812	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11253	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12738	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12415	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16388	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12519	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12522	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12838	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12413	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12736	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17076	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11139   · cmul 11143  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  8c8 12303  9c9 12304  ;cdc 12707  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  2503lem3  17107