MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 19prm 16151
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm 19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11597 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 9nn 11416 . . 3 9 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11803 . 2 19 ∈ ℕ
4 1nn 11326 . . 3 1 ∈ ℕ
5 9nn0 11605 . . 3 9 ∈ ℕ0
6 1lt10 11923 . . 3 1 < 10
74, 5, 1, 6declti 11821 . 2 1 < 19
8 4nn0 11600 . . 3 4 ∈ ℕ0
9 4t2e8 11487 . . 3 (4 · 2) = 8
10 df-9 11382 . . 3 9 = (8 + 1)
111, 8, 9, 10dec2dvds 16099 . 2 ¬ 2 ∥ 19
12 3nn 11391 . . 3 3 ∈ ℕ
13 6nn0 11602 . . 3 6 ∈ ℕ0
14 8nn0 11604 . . . 4 8 ∈ ℕ0
15 8p1e9 11469 . . . 4 (8 + 1) = 9
16 6cn 11406 . . . . 5 6 ∈ ℂ
17 3cn 11393 . . . . 5 3 ∈ ℂ
18 6t3e18 11889 . . . . 5 (6 · 3) = 18
1916, 17, 18mulcomli 10339 . . . 4 (3 · 6) = 18
201, 14, 15, 19decsuc 11814 . . 3 ((3 · 6) + 1) = 19
21 1lt3 11492 . . 3 1 < 3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 15470 . 2 ¬ 3 ∥ 19
23 2nn0 11598 . . 3 2 ∈ ℕ0
24 5nn0 11601 . . 3 5 ∈ ℕ0
25 9lt10 11915 . . 3 9 < 10
26 1lt2 11490 . . 3 1 < 2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 11812 . 2 19 < 25
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 16141 1 19 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  (class class class)co 6879  1c1 10226   · cmul 10230  2c2 11367  3c3 11368  4c4 11369  5c5 11370  6c6 11371  8c8 11373  9c9 11374  cdc 11782  cprime 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-seq 13055  df-exp 13114  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-dvds 15319  df-prm 15719
This theorem is referenced by:  2503lem3  16172
  Copyright terms: Public domain W3C validator