Theorem 19prm 16151

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11597	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 11416	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11803	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 11326	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 11605	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 11923	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 11821	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 11600	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 11487	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 11382	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16099	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 11391	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 11602	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 11604	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 11469	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 11406	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 11393	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 11889	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 10339	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 11814	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 11492	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 15470	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 11598	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 11601	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 11915	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 11490	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 11812	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 16141	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6879  1c1 10226   · cmul 10230  2c2 11367  3c3 11368  4c4 11369  5c5 11370  6c6 11371  8c8 11373  9c9 11374  ;cdc 11782  ℙcprime 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-seq 13055  df-exp 13114  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-dvds 15319  df-prm 15719

This theorem is referenced by:  2503lem3  16172