Theorem 19prm 17114

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12533	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12355	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12742	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12541	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12861	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12760	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12536	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12425	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12327	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17059	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12336	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12538	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12540	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12407	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12348	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12338	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12827	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11263	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12753	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12430	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16408	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12534	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12537	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12853	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12428	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12751	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17104	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7415  1c1 11149   · cmul 11153  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  5c5 12315  6c6 12316  8c8 12318  9c9 12319  ;cdc 12722  ℙcprime 16666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-sup 9477  df-inf 9478  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-rp 13022  df-fz 13532  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16251  df-prm 16667

This theorem is referenced by:  2503lem3  17135