Theorem 19prm 17046

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12483	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12305	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12692	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12218	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12491	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12811	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12710	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12486	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12375	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12277	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16991	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12286	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12488	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12490	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12357	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12298	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12288	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12777	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11218	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12703	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12380	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16350	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12484	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12487	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12803	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12378	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12701	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17036	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403  1c1 11106   · cmul 11110  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  5c5 12265  6c6 12266  8c8 12268  9c9 12269  ;cdc 12672  ℙcprime 16603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-prm 16604

This theorem is referenced by:  2503lem3  17067