MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 19prm 17056
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm 19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12487 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 9nn 12309 . . 3 9 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12696 . 2 19 ∈ ℕ
4 1nn 12222 . . 3 1 ∈ ℕ
5 9nn0 12495 . . 3 9 ∈ ℕ0
6 1lt10 12815 . . 3 1 < 10
74, 5, 1, 6declti 12714 . 2 1 < 19
8 4nn0 12490 . . 3 4 ∈ ℕ0
9 4t2e8 12379 . . 3 (4 · 2) = 8
10 df-9 12281 . . 3 9 = (8 + 1)
111, 8, 9, 10dec2dvds 17001 . 2 ¬ 2 ∥ 19
12 3nn 12290 . . 3 3 ∈ ℕ
13 6nn0 12492 . . 3 6 ∈ ℕ0
14 8nn0 12494 . . . 4 8 ∈ ℕ0
15 8p1e9 12361 . . . 4 (8 + 1) = 9
16 6cn 12302 . . . . 5 6 ∈ ℂ
17 3cn 12292 . . . . 5 3 ∈ ℂ
18 6t3e18 12781 . . . . 5 (6 · 3) = 18
1916, 17, 18mulcomli 11222 . . . 4 (3 · 6) = 18
201, 14, 15, 19decsuc 12707 . . 3 ((3 · 6) + 1) = 19
21 1lt3 12384 . . 3 1 < 3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 16358 . 2 ¬ 3 ∥ 19
23 2nn0 12488 . . 3 2 ∈ ℕ0
24 5nn0 12491 . . 3 5 ∈ ℕ0
25 9lt10 12807 . . 3 9 < 10
26 1lt2 12382 . . 3 1 < 2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 12705 . 2 19 < 25
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 17046 1 19 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  (class class class)co 7402  1c1 11108   · cmul 11112  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  cdc 12676  cprime 16611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612
This theorem is referenced by:  2503lem3  17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator