Theorem 19prm 16197

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11643	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 11462	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11849	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 11370	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 11651	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 11969	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 11867	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 11646	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 11533	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 11428	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16145	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 11437	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 11648	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 11650	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 11515	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 11452	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 11439	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 11935	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 10373	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 11860	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 11538	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 15516	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 11644	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 11647	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 11961	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 11536	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 11858	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 16187	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  1c1 10260   · cmul 10264  2c2 11413  3c3 11414  4c4 11415  5c5 11416  6c6 11417  8c8 11419  9c9 11420  ;cdc 11828  ℙcprime 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-prm 15765

This theorem is referenced by:  2503lem3  16218