Theorem 19prm 17079

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12444	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12270	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12655	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12176	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12452	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12774	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12673	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12447	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12335	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12242	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17025	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12449	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12451	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12317	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12263	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12740	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11145	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12666	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12340	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12445	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12448	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12766	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12338	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12664	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17069	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  2503lem3  17100