Theorem 19prm 17174

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12335	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12731	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12240	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12524	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12852	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12750	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12519	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12405	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12306	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17119	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12316	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12521	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12523	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12386	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12328	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12318	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12817	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11214	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12743	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12412	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12517	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12520	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12844	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12409	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12741	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17163	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12707  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726

This theorem is referenced by:  2503lem3  17195