Theorem 19prm 17047

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12484	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 12306	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12693	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 12219	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 12492	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12812	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12711	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 12487	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 12376	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 12278	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16992	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 12287	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 12489	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 12491	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 12358	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 12299	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 12289	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12778	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 11219	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12704	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 12381	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 12485	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 12488	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12804	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 12379	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12702	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 17037	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  1c1 11107   · cmul 11111  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  8c8 12269  9c9 12270  ;cdc 12673  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605

This theorem is referenced by:  2503lem3  17068