Theorem dflringlem 33793

Description: Lemma for dflring3 33796. If a ring 𝑅 has a single maximal ideal 𝑀, then any element 𝑋 outside of 𝑀 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
dflringlem.1	⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
dflringlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
dflringlem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dflringlem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		dflringlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
6		dflringlem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))
7	6	eldifad 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10		dflringlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	9, 10, 11	rspcl 21373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 8, 12	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15		dflringlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})
17	15, 9, 16, 10, 7, 3	unitpidl1 33741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	18	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵)
20	19	neqned 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	10	ssmxidl 33766	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
22	5, 14, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
23		dflringlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
25	22, 24	rexeqtrdv 3326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
26		sseq2 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
27	26	rexsng 4642	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → (∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
28	27	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
29	2, 25, 28	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
30	10, 9	rspsnid 21382	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
31	4, 7, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
32	6	eldifbd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
33		nelss 4003	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
35	34	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
36	29, 35	condan 829	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  Unitcui 20442  LIdealclidl 21339  RSpancrsp 21340  MaxIdealcmxidl 33751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-ac2 10451  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10105  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-rsp 21342  df-mxidl 33752

This theorem is used by:  dflring3  33796