Theorem dflringlem 33852

Description: Lemma for dflring3 33855. If a ring 𝑅 has a single maximal ideal 𝑀, then any element 𝑋 outside of 𝑀 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
dflringlem.1	⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
dflringlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
dflringlem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dflringlem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		dflringlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
6		dflringlem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))
7	6	eldifad 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
9		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10		dflringlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	9, 10, 11	rspcl 21418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 8, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15		dflringlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})
17	15, 9, 16, 10, 7, 3	unitpidl1 33800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	18	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵)
20	19	neqned 2967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	10	ssmxidl 33825	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
22	5, 14, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
23		dflringlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
25	22, 24	rexeqtrdv 3328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
26		sseq2 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
27	26	rexsng 4644	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → (∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
28	27	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
29	2, 25, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
30	10, 9	rspsnid 21427	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
31	4, 7, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
32	6	eldifbd 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
33		nelss 4004	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
35	34	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
36	29, 35	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  Basecbs 17295  Ringcrg 20363  CRingccrg 20364  Unitcui 20487  LIdealclidl 21384  RSpancrsp 21385  MaxIdealcmxidl 33810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-ac2 10462  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rpss 7730  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-ac 10116  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-subrg 20723  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-lidl 21386  df-rsp 21387  df-mxidl 33811

This theorem is used by:  dflring3  33855