Theorem dflringlem 34026

Description: Lemma for dflring3 34029. If a ring 𝑅 has a single maximal ideal 𝑀, then any element 𝑋 outside of 𝑀 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
dflringlem.1	⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
dflringlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
dflringlem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dflringlem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		dflringlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
6		dflringlem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))
7	6	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
9		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10		dflringlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	9, 10, 11	rspcl 21518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 8, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15		dflringlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})
17	15, 9, 16, 10, 7, 3	unitpidl1 33974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	18	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵)
20	19	neqned 2963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	10	ssmxidl 33999	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
22	5, 14, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
23		dflringlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
25	22, 24	rexeqtrdv 3323	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
26		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
27	26	rexsng 4637	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → (∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
28	27	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
29	2, 25, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
30	10, 9	rspsnid 21527	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
31	4, 7, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
32	6	eldifbd 3912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
33		nelss 3997	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
35	34	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
36	29, 35	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  Unitcui 20585  LIdealclidl 21484  RSpancrsp 21485  MaxIdealcmxidl 33984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-ac2 10541  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-ac 10195  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-mxidl 33985

This theorem is used by:  dflring3  34029