Theorem dflringlem 33691

Description: Lemma for dflring3 33694. If a ring 𝑅 has a single maximal ideal 𝑀, then any element 𝑋 outside of 𝑀 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
dflringlem.1	⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
dflringlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
dflringlem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dflringlem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		dflringlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
6		dflringlem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))
7	6	eldifad 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10		dflringlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	9, 10, 11	rspcl 21306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 8, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15		dflringlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})
17	15, 9, 16, 10, 7, 3	unitpidl1 33611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	notbid 320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	18	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵)
20	19	neqned 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	10	ssmxidl 33663	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
22	5, 14, 20, 21	syl3anc 1391	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
23		dflringlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
24	23	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
25	22, 24	rexeqtrdv 3324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
26		sseq2 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
27	26	rexsng 4636	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → (∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
28	27	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
29	2, 25, 28	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
30	10, 9	rspsnid 33558	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
31	4, 7, 30	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
32	6	eldifbd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
33		nelss 4003	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
34	31, 32, 33	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
35	34	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
36	29, 35	condan 827	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4583  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  Ringcrg 20284  CRingccrg 20285  Unitcui 20405  LIdealclidl 21277  RSpancrsp 21278  MaxIdealcmxidl 33648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-ac2 10421  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-rpss 7707  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-oadd 8442  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-dju 9860  df-card 9898  df-ac 10073  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-0g 17471  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-subrg 20621  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-lidl 21279  df-rsp 21280  df-mxidl 33649

This theorem is referenced by:  dflring3  33694