Theorem dflringlem 33586

Description: Lemma for dflring3 33589. If a ring 𝑅 has a single maximal ideal 𝑀, then any element 𝑋 outside of 𝑀 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
dflringlem.1	⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
dflringlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
dflringlem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dflringlem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		dflringlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
6		dflringlem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑀))
7	6	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
9		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10		dflringlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	9, 10, 11	rspcl 21229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 8, 12	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15		dflringlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})
17	15, 9, 16, 10, 7, 3	unitpidl1 33508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	notbid 319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	18	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) = 𝐵)
20	19	neqned 2941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	10	ssmxidl 33558	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
22	5, 14, 20, 21	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
23		dflringlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (MaxIdeal‘𝑅) = {𝑀})
25	22, 24	rexeqtrdv 3300	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚)
26		sseq2 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
27	26	rexsng 4609	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → (∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀))
28	27	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ {𝑀} ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑚) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
29	2, 25, 28	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
30	10, 9	rspsnid 33455	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
31	4, 7, 30	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
32	6	eldifbd 3896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
33		nelss 3981	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
34	31, 32, 33	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
35	34	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ⊆ 𝑀)
36	29, 35	condan 823	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4556  ‘cfv 6486  Basecbs 17171  Ringcrg 20206  CRingccrg 20207  Unitcui 20327  LIdealclidl 21200  RSpancrsp 21201  MaxIdealcmxidl 33543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-rpss 7667  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-rsp 21203  df-mxidl 33544

This theorem is referenced by:  dflring3  33589