Theorem dfprlng3 29291

Description: Alternate definition of (strict) parallelism. Theorem 12.7 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfprlng2.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfprlng2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
dfprlng2.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
dfprlng2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfprlng2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
dfprlng2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
dfprlng3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
dfprlng3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
dfprlng3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

Proof of Theorem dfprlng3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfprlng2.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfprlng2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		dfprlng2.p	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		dfprlng2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 796	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑃)
7		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ≠ 𝑤)
9	8	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ≠ 𝑧)
10	7, 9	eldifsnd 4753	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11		dfprlng2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		dfprlng2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
14	13	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤))
16		dfprlng3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
17	16	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
18	15, 17	eqnetrrd 3025	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑧𝐿𝑤) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
19	1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 14, 18	dfprlng2 29290	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
20	15	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌)))
21	15	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤)))
22	21	breqd 5118	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌))
23	15	ineq1d 4168	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
24	23	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅ ↔ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅))
25	22, 24	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
26	19, 20, 25	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
27	26	anasss 472	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤)) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
28		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
29		dfprlng3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 28, 2, 4, 29	tgisline 28972	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤))
31	27, 30	r19.29vva 3224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  hpGchpg 29112  parlnGcprlng 29279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-hlg 28941  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-hpg 29113  df-plng 29129  df-prlng 29280

This theorem is used by: (None)