Theorem dfprlng3 29209

Description: Alternate definition of (strict) parallelism. Theorem 12.7 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfprlng2.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfprlng2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
dfprlng2.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
dfprlng2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfprlng2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
dfprlng2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
dfprlng3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
dfprlng3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
dfprlng3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

Proof of Theorem dfprlng3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfprlng2.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfprlng2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		dfprlng2.p	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		dfprlng2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑃)
7		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
8		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ≠ 𝑤)
9	8	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ≠ 𝑧)
10	7, 9	eldifsnd 4754	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11		dfprlng2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		dfprlng2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
14	13	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤))
16		dfprlng3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
17	16	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
18	15, 17	eqnetrrd 3025	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑧𝐿𝑤) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
19	1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 14, 18	dfprlng2 29208	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
20	15	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌)))
21	15	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤)))
22	21	breqd 5119	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌))
23	15	ineq1d 4171	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
24	23	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅ ↔ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅))
25	22, 24	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
26	19, 20, 25	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
27	26	anasss 471	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤)) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
28		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
29		dfprlng3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 28, 2, 4, 29	tgisline 28911	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤))
31	27, 30	r19.29vva 3224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  TarskiGcstrkg 28707  Itvcitv 28713  LineGclng 28714  hpGchpg 29050  parlnGcprlng 29197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkgld 28732  df-trkg 28733  df-cgrg 28791  df-leg 28863  df-hlg 28881  df-mir 28941  df-rag 28985  df-perpg 28987  df-hpg 29051  df-plng 29067  df-prlng 29198

This theorem is used by: (None)