Theorem dfprlng3 29171

Description: Alternate definition of (strict) parallelism. Theorem 12.7 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfprlng2.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfprlng2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
dfprlng2.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
dfprlng2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfprlng2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
dfprlng2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
dfprlng3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
dfprlng3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
dfprlng3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

Proof of Theorem dfprlng3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfprlng2.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfprlng2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		dfprlng2.p	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		dfprlng2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑃)
7		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
8		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑧 ≠ 𝑤)
9	8	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ≠ 𝑧)
10	7, 9	eldifsnd 4754	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11		dfprlng2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		dfprlng2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
14	13	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤))
16		dfprlng3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
17	16	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
18	15, 17	eqnetrrd 3024	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑧𝐿𝑤) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
19	1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 14, 18	dfprlng2 29170	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
20	15	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑧𝐿𝑤) ∥ (𝑋𝐿𝑌)))
21	15	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤)))
22	21	breqd 5119	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌))
23	15	ineq1d 4171	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
24	23	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅ ↔ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅))
25	22, 24	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑧𝐿𝑤))𝑌 ∧ ((𝑧𝐿𝑤) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
26	19, 20, 25	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑧𝐿𝑤)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
27	26	anasss 471	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤)) → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))
28		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
29		dfprlng3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 28, 2, 4, 29	tgisline 28876	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑧𝐿𝑤) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤))
31	27, 30	r19.29vva 3223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∧ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  TarskiGcstrkg 28672  Itvcitv 28678  LineGclng 28679  hpGchpg 29014  parlnGcprlng 29159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28693  df-trkgb 28694  df-trkgcb 28695  df-trkgld 28697  df-trkg 28698  df-cgrg 28756  df-leg 28828  df-hlg 28846  df-mir 28906  df-rag 28949  df-perpg 28951  df-hpg 29015  df-plng 29030  df-prlng 29160

This theorem is referenced by: (None)