Theorem sgmf 27096

Description: The divisor function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmf	⊢ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ

Proof of Theorem sgmf

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13924	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16276	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
4	1, 3	ssfid 9168	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
5		elrabi 3627	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12179	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		cxpcl 26626	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 15684	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
11	10	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ
12		df-sgm 27053	. . 3 ⊢ σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥))
13	12	fmpo 8010	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ ↔ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ)
14	11, 13	mpbi 230	1 ⊢ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  {crab 3387   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074   × cxp 5618  ⟶wf 6483  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  1c1 11028  ℕcn 12163  ...cfz 13450  Σcsu 15637   ∥ cdvds 16210  ↑_𝑐ccxp 26507   σ csgm 27047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-dvds 16211  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cncf 24833  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26508  df-cxp 26509  df-sgm 27053

This theorem is referenced by:  sgmcl  27097