Theorem sgmf 27095

Description: The divisor function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmf	⊢ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ

Proof of Theorem sgmf

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13897	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16246	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
4	1, 3	ssfid 9170	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
5		elrabi 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		cxpcl 26623	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 15657	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
11	10	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ
12		df-sgm 27052	. . 3 ⊢ σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥))
13	12	fmpo 8012	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) ∈ ℂ ↔ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ)
14	11, 13	mpbi 230	1 ⊢ σ :(ℂ × ℕ)⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5620  ⟶wf 6486  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  1c1 11028  ℕcn 12146  ...cfz 13424  Σcsu 15610   ∥ cdvds 16180  ↑_𝑐ccxp 26504   σ csgm 27046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-dvds 16181  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-cxp 26506  df-sgm 27052

This theorem is referenced by:  sgmcl  27096