Theorem endofsegidand 36261

Description: Deduction form of endofsegid 36260. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
endofsegidand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
endofsegidand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
endofsegidand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
endofsegidand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
endofsegidand.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
endofsegidand.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)

Assertion

Ref	Expression
endofsegidand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem endofsegidand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endofsegidand.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		endofsegidand.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
3		endofsegidand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		endofsegidand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		endofsegidand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		endofsegidand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		endofsegid 36260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 = 𝐶))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 = 𝐶))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 = 𝐶))
10	1, 2, 9	mp2and 700	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  ℕcn 12149  𝔼cee 28943   Btwn cbtwn 28944  Cgrccgr 28945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-ee 28946  df-btwn 28947  df-cgr 28948  df-ofs 36158  df-ifs 36215  df-cgr3 36216

This theorem is referenced by:  midofsegid  36279  segleantisym  36290  colinbtwnle  36293  outsideofeq  36305