Theorem endofsegid 34314

Description: If 𝐴, 𝐵, and 𝐶 fall in order on a line, and 𝐴𝐵 and 𝐴𝐶 are congruent, then 𝐶 = 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
endofsegid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐶 = 𝐵))

Proof of Theorem endofsegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrcom 34219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
6	1, 2, 3, 2, 4, 5	syl122anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
7	6	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
8		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
9		axcgrrflx 27185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)
10	9	3adant3r1 1180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)
11	10	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩))
12	7, 8, 11	3jcad 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)))
13		3ancomb 1097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
14		brcgr3 34275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)))
15	13, 14	syl3an3br 1406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)))
16	15	3anidm23 1419	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)))
17	12, 16	sylibrd 258	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩))
18		btwnxfr 34285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
19	13, 18	syl3an3br 1406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
20	19	3anidm23 1419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐴, ⟨𝐶, 𝐵⟩⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
21	17, 20	sylan2d 604	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
22		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
24	21, 23	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
25		3anrot 1098	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
26		btwnswapid2 34247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐶 = 𝐵))
27	25, 26	sylan2br 594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐶 = 𝐵))
28	24, 27	syld 47	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐶 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℕcn 11903  𝔼cee 27159   Btwn cbtwn 27160  Cgrccgr 27161  Cgr3ccgr3 34265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ee 27162  df-btwn 27163  df-cgr 27164  df-ofs 34212  df-ifs 34269  df-cgr3 34270

This theorem is referenced by:  endofsegidand  34315