Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcl2 18692
 Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcl2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odcl2.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 18664 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
43adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
5 elnn0 11896 . . . . . . 7 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
64, 5sylib 221 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
76ord 861 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (¬ (𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) = 0))
8 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))
101, 2, 8, 9odinf 18690 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
111, 2, 8, 9odf1 18689 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋))
1211biimp3a 1466 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋)
13 f1f 6565 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14 frn 6509 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15 ssfi 8735 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
1615expcom 417 . . . . . . . 8 (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
1712, 13, 14, 164syl 19 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
1810, 17mtod 201 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19183expia 1118 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
207, 19syld 47 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (¬ (𝑂𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
2120con4d 115 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂𝐴) ∈ ℕ))
22213impia 1114 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑋 ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
23223com23 1123 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   ↦ cmpt 5132  ran crn 5543  ⟶wf 6339  –1-1→wf1 6340  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  0cc0 10535  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  Basecbs 16483  Grpcgrp 18103  .gcmg 18224  odcod 18652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-od 18656 This theorem is referenced by:  gexcl2  18714  pgpfi1  18720  odcau  18729  prmcyg  19014  lt6abl  19015  dchrptlem1  25854  dchrptlem2  25855
 Copyright terms: Public domain W3C validator