Theorem odcl2 19474

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elnn0 12478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
7	6	ord 862	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
8		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))
10	1, 2, 8, 9	odinf 19472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
11	1, 2, 8, 9	odf1 19471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋))
12	11	biimp3a 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋)
13		f1f 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14		frn 6724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15		ssfi 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
16	15	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
17	12, 13, 14, 16	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
18	10, 17	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19	18	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
20	7, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
21	20	con4d 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
22	21	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
23	22	3com23 1126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  Basecbs 17148  Grpcgrp 18855  ._gcmg 18986  odcod 19433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-od 19437

This theorem is referenced by:  gexcl2  19498  pgpfi1  19504  odcau  19513  prmcyg  19803  lt6abl  19804  dchrptlem1  26991  dchrptlem2  26992  finsubmsubg  41390