Theorem odcl2 19273

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elnn0 12345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
7	6	ord 862	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))
10	1, 2, 8, 9	odinf 19271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
11	1, 2, 8, 9	odf1 19270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋))
12	11	biimp3a 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋)
13		f1f 6730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14		frn 6667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15		ssfi 9047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
16	15	expcom 415	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
17	12, 13, 14, 16	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
18	10, 17	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19	18	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
20	7, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
21	20	con4d 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
22	21	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
23	22	3com23 1126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5183  ran crn 5628  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  Fincfn 8813  0cc0 10981  ℕcn 12083  ℕ₀cn0 12343  ℤcz 12429  Basecbs 17014  Grpcgrp 18678  ._gcmg 18801  odcod 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-oadd 8380  df-omul 8381  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-card 9805  df-acn 9808  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-fz 13350  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-dvds 16068  df-0g 17254  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mulg 18802  df-od 19237

This theorem is referenced by:  gexcl2  19295  pgpfi1  19301  odcau  19310  prmcyg  19594  lt6abl  19595  dchrptlem1  26522  dchrptlem2  26523