Theorem odcl2 18334

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 18307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elnn0 11621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
6	4, 5	sylib 210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
7	6	ord 897	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
8		eqid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9		eqid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))
10	1, 2, 8, 9	odinf 18332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
11	1, 2, 8, 9	odf1 18331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋))
12	11	biimp3a 1599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋)
13		f1f 6339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14		frn 6285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15		ssfi 8450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
16	15	expcom 404	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
17	12, 13, 14, 16	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
18	10, 17	mtod 190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19	18	3expia 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
20	7, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
21	20	con4d 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
22	21	3impia 1151	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
23	22	3com23 1162	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799   ↦ cmpt 4953  ran crn 5344  ⟶wf 6120  –1-1→wf1 6121  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  0cc0 10253  ℕcn 11351  ℕ₀cn0 11619  ℤcz 11705  Basecbs 16223  Grpcgrp 17777  ._gcmg 17895  odcod 18296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-od 18300

This theorem is referenced by:  gexcl2  18356  pgpfi1  18362  odcau  18371  prmcyg  18649  lt6abl  18650  dchrptlem1  25403  dchrptlem2  25404