Theorem odcl2 19463

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elnn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
7	6	ord 864	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
8		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))
10	1, 2, 8, 9	odinf 19461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
11	1, 2, 8, 9	odf1 19460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋))
12	11	biimp3a 1471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋)
13		f1f 6724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14		frn 6663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15		ssfi 9097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
16	15	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
17	12, 13, 14, 16	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
18	10, 17	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19	18	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
20	7, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
21	20	con4d 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
22	21	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
23	22	3com23 1126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11028  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  Basecbs 17139  Grpcgrp 18831  ._gcmg 18965  odcod 19422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16183  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-od 19426

This theorem is referenced by:  gexcl2  19487  pgpfi1  19493  odcau  19502  prmcyg  19792  lt6abl  19793  dchrptlem1  27192  dchrptlem2  27193  grpods  42187  unitscyglem1  42188  finsubmsubg  42503