Theorem fracbas 33489

Description: The base of the field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracbas.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracbas.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracbas.3	⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
fracbas.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fracbas	⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Proof of Theorem fracbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐸) = (𝐵 × 𝐸)
6		fracval 33488	. . . 4 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
7		fracbas.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
8		fracbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
9	8	oveq2i 7407	. . . 4 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
10	6, 7, 9	3eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 RLocal 𝐸)
11		fracbas.4	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
12		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
13	8, 1	rrgss 20748	. . . 4 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14	rlocbas 33446	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
16		0qs 8744	. . 3 ⊢ (∅ / ∼ ) = ∅
17		fvprc 6859	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐵 = ∅)
19	18	xpeq1d 5676	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = (∅ × 𝐸))
20		0xp 5746	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐸) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = ∅)
22	21	qseq1d 8741	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (∅ / ∼ ))
23		fvprc 6859	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( Frac ‘𝑅) = ∅)
24	7, 23	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐹 = ∅)
25	24	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
26		base0 17250	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
28	16, 22, 27	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
29	15, 28	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   × cxp 5645  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   / cqs 8677  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468  -_gcsg 18977  RLRegcrlreg 20737   ~_RL cerl 33431   RLocal crloc 33432   Frac cfrac 33486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-imas 17538  df-qus 17539  df-rlreg 20740  df-rloc 33434  df-frac 33487

This theorem is referenced by:  idomsubr  33493