Theorem fracbas 33155

Description: The base of the field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracbas.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracbas.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracbas.3	⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
fracbas.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fracbas	⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Proof of Theorem fracbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2726	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐸) = (𝐵 × 𝐸)
6		fracval 33154	. . . 4 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
7		fracbas.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
8		fracbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
9	8	oveq2i 7435	. . . 4 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
10	6, 7, 9	3eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 RLocal 𝐸)
11		fracbas.4	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
12		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
13	8, 1	rrgss 20680	. . . 4 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14	rlocbas 33122	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
16		0qs 8796	. . 3 ⊢ (∅ / ∼ ) = ∅
17		fvprc 6893	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐵 = ∅)
19	18	xpeq1d 5711	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = (∅ × 𝐸))
20		0xp 5780	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐸) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = ∅)
22	21	qseq1d 8793	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (∅ / ∼ ))
23		fvprc 6893	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( Frac ‘𝑅) = ∅)
24	7, 23	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐹 = ∅)
25	24	fveq2d 6905	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
26		base0 17218	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
28	16, 22, 27	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
29	15, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325   × cxp 5680  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   / cqs 8733  Basecbs 17213  ._rcmulr 17267  0_gc0g 17454  -_gcsg 18930  RLRegcrlreg 20669   ~_RL cerl 33108   RLocal crloc 33109   Frac cfrac 33152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-ec 8736  df-qs 8740  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-imas 17523  df-qus 17524  df-rlreg 20672  df-rloc 33111  df-frac 33153

This theorem is referenced by:  idomsubr  33159