Theorem fracbas 33971

Description: The base of the field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracbas.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracbas.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracbas.3	⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
fracbas.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fracbas	⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Proof of Theorem fracbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐸) = (𝐵 × 𝐸)
6		fracval 33970	. . . 4 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
7		fracbas.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
8		fracbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
9	8	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
10	6, 7, 9	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 RLocal 𝐸)
11		fracbas.4	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
12		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
13	8, 1	rrgss 21005	. . . 4 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14	rlocbas 33928	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
16		0qs 8821	. . 3 ⊢ (∅ / ∼ ) = ∅
17		fvprc 6908	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐵 = ∅)
19	18	xpeq1d 5687	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = (∅ × 𝐸))
20		0xp 5758	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐸) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = ∅)
22	21	qseq1d 8818	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (∅ / ∼ ))
23		fvprc 6908	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( Frac ‘𝑅) = ∅)
24	7, 23	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐹 = ∅)
25	24	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
26		base0 17436	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
28	16, 22, 27	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
29	15, 28	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   / cqs 8754  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  -_gcsg 19196  RLRegcrlreg 20994   ~_RL cerl 33913   RLocal crloc 33914   Frac cfrac 33968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-imas 17730  df-qus 17731  df-rlreg 20997  df-rloc 33916  df-frac 33969

This theorem is used by:  idomsubr  33975