Theorem fracbas 33272

Description: The base of the field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracbas.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracbas.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracbas.3	⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
fracbas.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fracbas	⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Proof of Theorem fracbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐸) = (𝐵 × 𝐸)
6		fracval 33271	. . . 4 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
7		fracbas.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
8		fracbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
9	8	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
10	6, 7, 9	3eqtr4i 2778	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 RLocal 𝐸)
11		fracbas.4	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
12		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
13	8, 1	rrgss 20724	. . . 4 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14	rlocbas 33239	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
16		0qs 8825	. . 3 ⊢ (∅ / ∼ ) = ∅
17		fvprc 6912	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐵 = ∅)
19	18	xpeq1d 5729	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = (∅ × 𝐸))
20		0xp 5798	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐸) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = ∅)
22	21	qseq1d 8822	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (∅ / ∼ ))
23		fvprc 6912	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( Frac ‘𝑅) = ∅)
24	7, 23	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐹 = ∅)
25	24	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
26		base0 17263	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
28	16, 22, 27	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
29	15, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   / cqs 8762  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  -_gcsg 18975  RLRegcrlreg 20713   ~_RL cerl 33225   RLocal crloc 33226   Frac cfrac 33269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-imas 17568  df-qus 17569  df-rlreg 20716  df-rloc 33228  df-frac 33270

This theorem is referenced by:  idomsubr  33276