Theorem fracbas 33262

Description: The base of the field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracbas.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracbas.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracbas.3	⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
fracbas.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fracbas	⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Proof of Theorem fracbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐸) = (𝐵 × 𝐸)
6		fracval 33261	. . . 4 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
7		fracbas.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( Frac ‘𝑅)
8		fracbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
9	8	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
10	6, 7, 9	3eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 RLocal 𝐸)
11		fracbas.4	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
12		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
13	8, 1	rrgss 20618	. . . 4 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14	rlocbas 33225	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
16		0qs 8739	. . 3 ⊢ (∅ / ∼ ) = ∅
17		fvprc 6853	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐵 = ∅)
19	18	xpeq1d 5670	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = (∅ × 𝐸))
20		0xp 5740	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐸) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐵 × 𝐸) = ∅)
22	21	qseq1d 8736	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (∅ / ∼ ))
23		fvprc 6853	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( Frac ‘𝑅) = ∅)
24	7, 23	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐹 = ∅)
25	24	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
26		base0 17191	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
28	16, 22, 27	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹))
29	15, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) = (Base‘𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   / cqs 8673  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  -_gcsg 18874  RLRegcrlreg 20607   ~_RL cerl 33211   RLocal crloc 33212   Frac cfrac 33259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-imas 17478  df-qus 17479  df-rlreg 20610  df-rloc 33214  df-frac 33260

This theorem is referenced by:  idomsubr  33266