MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcllem 15069
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fsumcllem.5 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fsumcllem (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcllem
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
21sumeq1d 15038 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3 sum0 15058 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
42, 3syl6eq 2871 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
5 fsumcllem.5 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
65adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 0 ∈ 𝑆)
74, 6eqeltrd 2911 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
8 fsumcllem.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fsumcllem.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1110adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12 fsumcllem.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1312adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
14 fsumcllem.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1514adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
16 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
179, 11, 13, 15, 16fsumcl2lem 15068 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
187, 17pm2.61dane 3093 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wss 3913  c0 4269  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  cc 10513  0cc0 10515   + caddc 10518  Σcsu 15022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023
This theorem is referenced by:  fsumcl  15070  fsumrecl  15071  fsumzcl  15072  fsumnn0cl  15073  fsumge0  15130  plymullem  24792  efnnfsumcl  25667  efchtdvds  25723  fsumrp0cl  30690  fsumcnsrcl  39903  aacllem  45089
  Copyright terms: Public domain W3C validator