Theorem fsumcllem 15753

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fsumcllem.5	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	sumeq1d 15721	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3		sum0 15742	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
5		fsumcllem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 0 ∈ 𝑆)
7	4, 6	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
8		fsumcllem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fsumcllem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12		fsumcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumcllem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
15	14	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
16		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
17	9, 11, 13, 15, 16	fsumcl2lem 15752	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
18	7, 17	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134   + caddc 11137  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  fsumcl  15754  fsumrecl  15755  fsumzcl  15756  fsumnn0cl  15757  fsumge0  15816  plymullem  26178  efnnfsumcl  27070  efchtdvds  27126  fsumrp0cl  33021  fsumcnsrcl  43157  aacllem  49632