Theorem gsummptfzsplitla 33316

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the left. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplita.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplita.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplita.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplita.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzsplita.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfzsplitla.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitla	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitla

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplita.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplita.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplita.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplita.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		gsummptfzsplita.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		fzpreddisj 13597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
9		fzpred 13596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10	gsummptfidmsplit 19996	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
12	3	cmnmndd 19870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	6	elfvexd 6915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
14		gsummptfzsplitla.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)
15	13, 14	csbied 3897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 = 𝑋)
16		eluzfz1 13555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17	6, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
18	5	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 18, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
21	15, 20	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 12, 13, 21, 14	gsumsnd 20018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) = 𝑋)
23	22	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
24	11, 23	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ⦋csb 3861   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306   Σ_g cgsu 17489  CMndccmn 19846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848

This theorem is referenced by:  vietalem  33910