Theorem gsummptfzsplitla 33135

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the left. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplita.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplita.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplita.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplita.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzsplita.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfzsplitla.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitla	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitla

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplita.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplita.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplita.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplita.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		gsummptfzsplita.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		fzpreddisj 13518	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
9		fzpred 13517	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10	gsummptfidmsplit 19896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
12	3	cmnmndd 19770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	6	elfvexd 6870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
14		gsummptfzsplitla.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)
15	13, 14	csbied 3874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 = 𝑋)
16		eluzfz1 13476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17	6, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
18	5	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
21	15, 20	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 12, 13, 21, 14	gsumsnd 19918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) = 𝑋)
23	22	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
24	11, 23	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  vietalem  33738