Theorem gsummptfzsplitla 33499

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the left. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplita.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplita.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplita.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplita.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzsplita.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfzsplitla.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitla	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitla

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplita.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplita.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplita.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14037	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplita.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		gsummptfzsplita.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		fzpreddisj 13628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
9		fzpred 13627	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10	gsummptfidmsplit 20057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
12	3	cmnmndd 19931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	6	elfvexd 6914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
14		gsummptfzsplitla.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 = 𝑋)
15	13, 14	csbied 3883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 = 𝑋)
16		eluzfz1 13585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17	6, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
18	5	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
21	15, 20	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 12, 13, 21, 14	gsumsnd 20079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) = 𝑋)
23	22	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))
24	11, 23	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑋 + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↦ 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342   Σ_g cgsu 17525  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  vietalem  34089