Theorem gsumsubgcl 19786

Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubgcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsubgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
gsumsubgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubgcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubgcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		gsumsubgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
3		ablcmn 19653	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsubgcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsubgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		subgsubm 19014	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9		gsumsubgcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10		gsumsubgcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
11	1, 4, 5, 8, 9, 10	gsumsubmcl 19785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   finSupp cfsupp 9239  0_gc0g 17330   Σ_g cgsu 17331  SubMndcsubmnd 18643  SubGrpcsubg 18986  CMndccmn 19646  Abelcabl 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-hash 14226  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-subg 18989  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21687  mplbas2  21931  jensenlem2  26879  amgmlem  26881  elrgspnsubrunlem2  33183  fedgmullem2  33611  evls1fldgencl  33651  gsumlsscl  48378