Theorem gsumsubgcl 19889

Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubgcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsubgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
gsumsubgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubgcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubgcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		gsumsubgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
3		ablcmn 19756	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsubgcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsubgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		subgsubm 19118	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9		gsumsubgcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10		gsumsubgcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
11	1, 4, 5, 8, 9, 10	gsumsubmcl 19888	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9268  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  SubMndcsubmnd 18744  SubGrpcsubg 19090  CMndccmn 19749  Abelcabl 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21789  mplbas2  22033  jensenlem2  26968  amgmlem  26970  elrgspnsubrunlem2  33327  fedgmullem2  33793  evls1fldgencl  33833  gsumlsscl  48871