Theorem gsumsubgcl 20146

Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubgcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsubgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
gsumsubgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubgcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubgcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		gsumsubgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
3		ablcmn 20013	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsubgcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsubgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		subgsubm 19371	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9		gsumsubgcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10		gsumsubgcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
11	1, 4, 5, 8, 9, 10	gsumsubmcl 20145	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   finSupp cfsupp 9364  0_gc0g 17622   Σ_g cgsu 17623  SubMndcsubmnd 18989  SubGrpcsubg 19342  CMndccmn 20006  Abelcabl 20007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009

This theorem is used by:  frlmsslsp  22114  mplbas2  22363  jensenlem2  27327  amgmlem  27329  elrgspnsubrunlem2  33862  fedgmullem2  34315  evls1fldgencl  34355  gsumlsscl  49631