Theorem dihjatc2N 39706

Description: Isomorphism H of join with an atom. (Contributed by NM, 26-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatc1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihjatc1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatc1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjatc1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihjatc1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatc1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatc1.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjatc1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihjatc2N	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))

Proof of Theorem dihjatc2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1284	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 37757	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2l 1199	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		dihjatc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		dihjatc1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 37682	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
8		simp12 1204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simp13 1205	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		dihjatc1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	4, 10	latmcl 18288	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
13		dihjatc1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	4, 13	latjcom 18295	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑄))
15	2, 7, 12, 14	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑄))
16	15	fveq2d 6843	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))) = (𝐼‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑄)))
17		dihjatc1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18		dihjatc1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19		dihjatc1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		dihjatc1.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		dihjatc1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
22	4, 17, 18, 13, 10, 5, 19, 20, 21	dihjatc1 39705	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
23	16, 22	eqtrd 2777	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  lecple 17099  joincjn 18159  meetcmee 18160  Latclat 18279  LSSumclsm 19374  Atomscatm 37656  HLchlt 37743  LHypclh 38378  DVecHcdvh 39472  DIsoHcdih 39622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37346

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-0g 17282  df-proset 18143  df-poset 18161  df-plt 18178  df-lub 18194  df-glb 18195  df-join 18196  df-meet 18197  df-p0 18273  df-p1 18274  df-lat 18280  df-clat 18347  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-subg 18883  df-cntz 19055  df-lsm 19376  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-oppr 20001  df-dvdsr 20022  df-unit 20023  df-invr 20053  df-dvr 20064  df-drng 20139  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-lvec 20516  df-oposet 37569  df-ol 37571  df-oml 37572  df-covers 37659  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744  df-llines 37892  df-lplanes 37893  df-lvols 37894  df-lines 37895  df-psubsp 37897  df-pmap 37898  df-padd 38190  df-lhyp 38382  df-laut 38383  df-ldil 38498  df-ltrn 38499  df-trl 38553  df-tendo 39149  df-edring 39151  df-disoa 39423  df-dvech 39473  df-dib 39533  df-dic 39567  df-dih 39623

This theorem is referenced by: (None)