Theorem lcmfunsn 16604

Description: The lcm function for a union of a set of integer and a singleton. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsn	⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunsn

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunsnlem 16601	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑌 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑌) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛)))
2		sneq 4565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
3	2	uneq2d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑌 ∪ {𝑛}) = (𝑌 ∪ {𝑁}))
4	3	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})))
5		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))
6	4, 5	eqeq12d 2755	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) ↔ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
7	6	rspccv 3557	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
8	1, 7	simpl2im 508	. 2 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
9	8	3impia 1123	1 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212   lcm clcm 16548  lcmclcmf 16549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-lcm 16550  df-lcmf 16551

This theorem is referenced by:  lcmfun  16605  lcmfunnnd  42497