Theorem lcmfunsn 16624

Description: The lcm function for a union of a set of integer and a singleton. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsn	⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunsn

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunsnlem 16621	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑌 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑌) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛)))
2		sneq 4642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
3	2	uneq2d 4164	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑌 ∪ {𝑛}) = (𝑌 ∪ {𝑁}))
4	3	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})))
5		oveq2 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))
6	4, 5	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) ↔ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
7	6	rspccv 3608	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
8	1, 7	simpl2im 502	. 2 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
9	8	3impia 1114	1 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  ℤcz 12598   ∥ cdvds 16240   lcm clcm 16568  lcmclcmf 16569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-prod 15892  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-lcm 16570  df-lcmf 16571

This theorem is referenced by:  lcmfun  16625  lcmfunnnd  41523