Theorem lcmfunsn 16562

Description: The lcm function for a union of a set of integer and a singleton. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsn	⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunsn

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunsnlem 16559	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑌 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑌) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛)))
2		sneq 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
3	2	uneq2d 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑌 ∪ {𝑛}) = (𝑌 ∪ {𝑁}))
4	3	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})))
5		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))
6	4, 5	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) ↔ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
7	6	rspccv 3570	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑛) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
8	1, 7	simpl2im 503	. 2 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ ℤ → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁)))
9	8	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘(𝑌 ∪ {𝑁})) = ((lcm‘𝑌) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  ℤcz 12479   ∥ cdvds 16170   lcm clcm 16506  lcmclcmf 16507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-prod 15818  df-dvds 16171  df-gcd 16413  df-lcm 16508  df-lcmf 16509

This theorem is referenced by:  lcmfun  16563  lcmfunnnd  42178