Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2s 40265
Description: Lemma for lclkr 40273. Thus, the sum has a closed kernel when 𝐵 is zero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2s (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2s
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2o.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
32snssd 4806 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
4 lclkrlem2o.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 lclkrlem2o.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 lclkrlem2o.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8dochcl 40093 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
101, 3, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
114, 5, 8dochoc 40107 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑌}))) = ( ‘{𝑌}))
121, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘( ‘{𝑌}))) = ( ‘{𝑌}))
1312ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑌}))) = ( ‘{𝑌}))
14 lclkrlem2m.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑈)
15 lclkrlem2m.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
16 lclkrlem2m.q . . . . . . . . . 10 × = (.r𝑆)
17 lclkrlem2m.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
18 lclkrlem2m.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (invr𝑆)
19 lclkrlem2m.m . . . . . . . . . 10 = (-g𝑈)
20 lclkrlem2m.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
21 lclkrlem2m.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
22 lclkrlem2m.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝐷)
23 lclkrlem2m.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
24 lclkrlem2m.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝐹)
25 lclkrlem2m.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐹)
26 lclkrlem2n.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
27 lclkrlem2n.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
28 lclkrlem2o.a . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑈)
29 lclkrlem2q.le . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
30 lclkrlem2q.lg . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
31 lclkrlem2q.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
32 lclkrlem2q.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
33 lclkrlem2r.bn . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
347, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 4, 8, 6, 28, 1, 29, 30, 31, 32, 33lclkrlem2r 40264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3534ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
36 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
374, 6, 1dvhlvec 39849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
39 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈))
40 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
4136, 38, 39, 40lshpcmp 37727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
4235, 41mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4330ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
4442, 43eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = ( ‘{𝑌}))
4544fveq2d 6883 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( ‘( ‘{𝑌})))
4645fveq2d 6883 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ‘( ‘( ‘{𝑌}))))
4713, 46, 443eqtr4d 2782 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
484, 6, 8, 7, 1dochoc1 40101 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
4948ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
50 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
5150fveq2d 6883 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( 𝑉))
5251fveq2d 6883 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ‘( 𝑉)))
5349, 52, 503eqtr4d 2782 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
544, 6, 1dvhlmod 39850 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5520, 21, 22, 54, 24, 25ldualvaddcl 37869 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
567, 36, 20, 27, 37, 55lkrshpor 37846 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ∨ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉))
5756adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ∨ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉))
5847, 53, 57mpjaodan 957 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
5948adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
607, 20, 27, 54, 55lkrssv 37835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
6160adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
62 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
6334adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
6462, 63eqsstrrd 4018 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → 𝑉 ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
6561, 64eqssd 3996 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
6665fveq2d 6883 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( 𝑉))
6766fveq2d 6883 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ‘( 𝑉)))
6859, 67, 653eqtr4d 2782 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
697, 36, 20, 27, 37, 25lkrshpor 37846 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
7058, 68, 69mpjaodan 957 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wss 3945  {csn 4623  ran crn 5671  cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  +gcplusg 17181  .rcmulr 17182  Scalarcsca 17184   ·𝑠 cvsca 17185  0gc0g 17369  -gcsg 18798  LSSumclsm 19468  invrcinvr 20155  LSpanclspn 20533  LVecclvec 20664  LSHypclsh 37714  LFnlclfn 37796  LKerclk 37824  LDualcld 37862  HLchlt 38089  LHypclh 38724  DVecHcdvh 39818  DIsoHcdih 39968  ocHcoch 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-riotaBAD 37692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-undef 8242  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17371  df-proset 18232  df-poset 18250  df-plt 18267  df-lub 18283  df-glb 18284  df-join 18285  df-meet 18286  df-p0 18362  df-p1 18363  df-lat 18369  df-clat 18436  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-cntz 19149  df-lsm 19470  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-dvr 20167  df-drng 20269  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-lvec 20665  df-lsatoms 37715  df-lshyp 37716  df-lfl 37797  df-lkr 37825  df-ldual 37863  df-oposet 37915  df-ol 37917  df-oml 37918  df-covers 38005  df-ats 38006  df-atl 38037  df-cvlat 38061  df-hlat 38090  df-llines 38238  df-lplanes 38239  df-lvols 38240  df-lines 38241  df-psubsp 38243  df-pmap 38244  df-padd 38536  df-lhyp 38728  df-laut 38729  df-ldil 38844  df-ltrn 38845  df-trl 38899  df-tendo 39495  df-edring 39497  df-disoa 39769  df-dvech 39819  df-dib 39879  df-dic 39913  df-dih 39969  df-doch 40088
This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  40266
  Copyright terms: Public domain W3C validator